• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Умови існування визначеного інтеграла

Визначення визначеного інтеграла.

Нехай функція визначена на відрізку .

Визначення. Розбиттям відрізку називається довільна скінченна сукупність точок, серед яких обов’язково повинні бути кінці відрізку:

Якщо розбиття складається з точок , то його записують і позначають через :

В кожному частковому відрізку , що утворилися в результаті розбиття , виберемо довільну точку і обчислимо значення функції в цій точці: .

Побудуємо суму , де . Ця сума називається інтегральною сумою функції , яка відповідає даному розбиттю відрізка і даному вибору проміжних точок .

Визначення. Діаметром розбиття називається найбільша довжина часткового відрізка. Позначається :.

Визначення. Скінченна границя інтегральної суми при , якщо вона існує і не залежить ні від розбиття відрізка на часткові відрізки, ні від вибору проміжних точок в часткових відрізках, називається визначеним інтеграломфункції на і позначається . За визначенням

.

Функція називається інтегрованою на відрізку . Числа і називаються нижньою і верхньою межею інтегрування відповідно, називається підінтегральною функцією; – підінтегральним виразом, – змінною інтегрування, – проміжком інтегрування.

Повертаючись до задач з питання 1, можна сказати, що:

1. Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції і прямими , , , дорівнює визначеному інтегралу від функції :

У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла: визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

2. Шлях, пройдений матеріальною точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості:

У цьому полягає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Зауваження. Визначеному інтегралу можна надати різний геометричний зміст: площа криволінійної трапеції, довжина дуги кривої, об’єм тіла обертання тощо; і різний фізичний зміст: шлях, пройдений матеріальною точкою, маса неоднорідного стержня, робота змінної сили тощо.

Теорема. (умови інтегрованості функції на відрізку). Для того, щоб функція була інтегрованою на відрізку , має бути виконана одна з умов:

1) необхідно, щоб вона була обмеженою на ;

2) достатньо, щоб вона була неперервною на ;

3) достатньо, щоб вона була обмежена на і кусково-неперервна на ньому (тобто мала лише скінченну кількість точок розриву 1-го роду);

4) достатньо, щоб вона була обмеженою і монотонною на .

Зауваження. 1. Те, що умова 1) є необхідною підтверджує приклад: функція Діріхле обмежена на відрізку , але не інтегрована на ньому, тому що границя інтегральної суми, побудованої для , залежить від вибору проміжних точок: якщо - раціональна, то сума дорівнює 1, якщо ірраціональна – 0.

2. Кожна з умов розширює клас інтегрованих функцій. Так, функція, монотонна на відрізку, може мати нескінченну кількість точок розриву і це ще не означає, що вона не інтегрована на цьому відрізку.

Далі розглядатимемо тільки неперервні функції.

Читайте також:

1. Аналогія як умовивід
2. Анімізм – уявлення про існування духовних істот та віра в можливість спілкування з ними.
3. Блок 4. Умови та охорона праці.
4. Блок перевірки умови
5. БУДОВА ТА УМОВИ ФОРМУВАННЯ ШАРУВАТИХ ТОВЩ
6. Буття людини як реальний процес її існування
7. Виберіть серед держав ту, що утворилася у 1449р. і зазначте, яку політику щодо укр. земель проводили її правителі у ХУ ст., коли ця держава припинила своє існування.
8. Види аудиторських висновків та умови їх надання
9. Види і типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
10. Види й типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
11. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
12. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).

Переглядів: 3021