• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Визначений інтеграл.

Лекція №4

План лекції:

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Визначення визначеного інтеграла. Умови існування визначеного інтеграла.

3. Властивості визначеного інтеграла.

4. Оцінка визначеного інтеграла. Теореми про оцінку.

5. Теорема про середнє значення функції

1. Задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай функція неперервна і невід’ємна на відрізку . Фігура, обмежена графіком функції , і віссю , відрізками прямих називається криволінійною трапецією.

Задача полягає в обчисленні площі цієї трапеції.

Розв’язання.Розіб’ємо відрізок довільним чином на часткових відрізків за допомогою точок так, щоб .

Множина точок , що задовольняє цю умову, називається розбиттям відрізку . Максимальне з чисел , де називається діаметром розбиття і позначається .

Через кожну точку , проведемо пряму, паралельну . Ці прямі розіб’ють трапецію на смужок – елементарних трапецій. Очевидно, що площа всієї трапеції дорівнює сумі всіх площ цих смужок.

В кожному з відрізків виберемо довільну точку і обчислимо значення функції в цій точці . Побудуємо на відрізку прямокутник з висотою і основою . Площа елементарної трапеції наближено дорівнює площі прямокутника: .

Тоді площа всієї трапеції .

Точність цієї формули збільшується із збільшенням кількості часткових відрізків і з зменшенням максимальної довжини цих відрізків. Точне значення площі криволінійної трапеції одержимо, коли перейдемо до границі при :

(1)

2. Задача про пройдений шлях.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з швидкістю, яка є неперервною функцією часу: . Задача полягає у визначенні шляху , який пройде матеріальна точка за проміжок часу від моменту до моменту .

Розв’язання. Розіб’ємо відрізок часу довільним чином на часткових відрізків точками . В кожному відрізку виберемо проміжний момент і обчислимо в ньому значення функції . Якщо проміжок достатньо малий, то можна вважати швидкість на ньому сталою і рівною . Тоді шлях, пройдений матеріальною точкою за час дорівнює . Шлях , пройдений за час

.

Ця формула тим точніша, чим менші величини . Точне значення пройденого часу одержимо, якщо перейдемо до границі при :

(2)

3. Задача про масу неоднорідного стержня

Нехай прямолінійний матеріальний стержень займає на осі відрізок і його речовина розподілена з густиною (лінійна густина – маса одиниці довжини стержня). Задача полягає у визначенні маси стержня.

Розв’язання. Розіб’ємо стержень довільним чином на частин точками . В кожній з елементарних ділянок виберемо довільну точку і обчислимо значення густини в цій точці . Якщо відрізок достатньо малий, то можна вважати густину на ньому сталою і рівною . Тоді маса частини стержня дорівнює . Маса всього стержня

.

Точне значення маси стержня одержимо, якщо перейдемо до границі при

(3)

До границь вигляду (1)–(3) приводять багато інших задач. Тому виникає потреба навчитися обчислювати такі границі незалежно від конкретного змісту тієї чи іншої задачі.

Читайте також:

1. II. Поняття соціального процесу.
2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
3. А/. Поняття про судовий процес.
4. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
5. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
6. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
7. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
8. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
9. Аудиторські докази: поняття та процедури отримання
10. Базове поняття земле оціночної діяльності.
11. Базові поняття
12. Базові поняття про класифікацію медичної техніки

Переглядів: 3502