Обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум з практичної точки зору непридатне як метод. Теорема про похідну визначеного інтеграла із змінною верхнею межею, розкриваючи глибокий зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралом, встановлює простий і найважливіший метод обчислення визначених інтегралів. Цей метод ґрунтується на теоремі:
Теорема.Якщо функція неперервна на і – яка-небудь первісна для функції на , то справедлива формула:
Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Доведення.Розглянемо визначений інтеграл із змінною верхнею межею, в якому нижня межа дорівнює :
За наслідком з теореми про похідну інтеграла із змінною верхнею межею, цей інтеграл є первісною для функції на . - теж первісна для функції на за умовою. Але дві первісні однієї і тієї ж самої функції відрізняються на сталу. Отже, існує стала така, що
(1)
Зокрема, при , отже , звідки .
Підставимо це значення в (1):
При ця рівність теж виконується: .
Отримана рівність співпадає з потрібною, тому що інтеграл не змінюється від позначення змінної.à
Зауваження.1. Різницю умовно позначають як , тому формулу Ньютона-Лейбніца записують у вигляді
2. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює зв’язок між задачею знаходження первісної функції і задачею обчислення границі інтегральних сум.