1. Якщо на відрізку [a,b] інтегрована функція f(x), то на цьому відрізку інтегрована і функція kf(x), причому
.
2. Якщо на відрізку [a,b] функція f(x)=0, то .
3. Якщо на відрізку [a,b] функція f(x)=1, то .
4. Якщо на відрізку [a,b] функція f(x)³0, то .
5. Якщо на відрізку [a,b] інтегрована функція f(x), то на цьому відрізку інтегрована і функція , причому .
6. Якщо на відрізку [a,b] інтегровані функції f(x) та , то на цьому відрізку інтегровані і функції , причому
j(x)dx.
Без доведення приймемо твердження.
Теорема 1. Якщо функція інтегровна на відрізку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку.
Не всі функції, які ми розглядаємо є інтегровними, але можна виділити класи функцій, визначений інтеграл від яких існує.
Теорема 2. Якщо функція неперервна на відрізку [a,b], то вона інтегровна на цьому відрізку.
Теорема 3. Якщо функція монотонна на відрізку [a,b], то вона інтегровна на цьому відрізку.
Теорема 4. Якщо функція обмежена на відрізку [a,b] і неперервна в усіх точках цього відрізка, крім можливо, скінченної їх кількості, то вона інтегровна на цьому відрізку.
2. Теорема (про середнє). Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку [a,b], то знайдеться така точка сÎ[a,b], що.
Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку [a,b], то поряд з інтегралом існує інтеграл . Введемо функцію