• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 17. Визначений інтеграл та його обчислення

Контрольні запитання

1. Що називається первісною?

2. Які функції мають первісні?

3. Скільки первісних має функція?

4. Як знайти всі первісні?

5. Що називається невизначеним інтегралом?

6. Сформулюйте і доведіть його властивості.

7. Чому рівні інтеграли від основних функцій?

8. У чому полягає інтегрування методом розкладу ?

9. У чому полягає інтегрування методом заміни змінної ?

10. У чому полягає метод інтегрування частинами ?

Мета. Дати поняття визначеного інтегралу, інтегралу по змінній верхній межі, ознайомитись з основними методами обчислення визначених інтегралів.

План.

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу. Поняття визначеного інтегралу та його властивості.

2. Інтеграл по змінній верхній межі. Теорема про середнє. Формула Ньютона- Лейбніца.

3. Основні методи обчислення визначених інтегралів.

1.Розглянемо задачу про знаходження площі криволінійної трапеції. Якщо на площині задано фігуру, обмежену прямими x=a, x=b, віссю Ox і графіком деякої функції y=f(x), то така фігура називається криволінійною трапецією.

Для того, щоб знайти її площу, розіб’ємо відрізок [a,b] на n частин (надалі будемо казати, що зроблено T- розбиття). Побудуємо через кожну точку T- розбиття пряму паралельну до осі Oy до перетину її з графіком функції y=f(x). Позначимо точки T- розбиття як x₀, x₁, …, x_n, де x₀=a, x_n=b. Довжини відрізків, отриманих при T- розбитті, позначимо Dx_i, де Dx_i=x_i-x_i-1, i=1,2,…,n. Виберемо на кожному з відрізків T- розбиття деяку точку в якій функція приймає найменше значення на відрізку Dx_i і другу точку в якій функція приймає найбільше значення на цьому відрізку. Побудуємо через ці точки відрізки паралельні осі Ox до перетину з першим вертикальним відрізком. Ясно, що площа трапеції більша або рівна суми площ прямокутників, побудованих через точки мінімуму але менша або рівна суми площ прямокутників, побудованих через точки максимуму, тобто

. (1)

Надалі будемо вибирати таке T- розбиття, щоб довжина максимального його відрізка прямувала до нуля:, тобто кількість точок T- розбиття прямує до нескінченності (Зауважимо, що обернене не завжди справедливе). При такому T – розбитті границі виразів, що містяться в правій і лівій частині формули (1) прямуватимуть до площі криволінійної трапеції. Таким чином,

.

Такі задачі як визначення площі криволінійної трапеції, а також ряд інших, приводять до поняття визначеного інтегралу.

Нехай на деякому відрізку [a,b] задано функцію y=f(x). Проведемо T- розбиття відрізка [a,b] і побудуємо суму добутків значень функції в деяких точках відрізків T- розбиття помножених на довжини цих відрізків.

,

де Dx_i=x_i-x_i-1, i=1,2,…,n.

Означення. Якщо границя не залежить від виду T-розбиття, вибору точок на його відрізках і дорівнює сталому числу, то таке число називається визначеним інтегралом функції y=f(x) на відрізку [a,b].

Позначають

Тут f(x)- підінтегральна функція, f(x)dx –підінтегральний вираз, числа a,b – межі інтегрування.

Читайте також:

1. Автододавання та автообчислення.
2. Алг W2 (ОБЧИСЛЕННЯ Y)
3. Аналітичні показники динаміки та прийоми їх обчислення
4. База оподаткування, ставки податку та порядок обчислення.
5. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
6. Будучи, як правило, дочірніми фірмами великих компаній, вони існують за рахунок засобів венчурного капіталу і здійснюють чітко визначений вид діяльності.
7. Види середніх і способи їх обчислення
8. Визначений інтеграл із змінною верхнею межею
9. Визначений інтеграл.
10. Визначення та обчислення функції для одного значення аргументу і для діапазону значень аргументу.
11. Виробнича потужність підприємства, оснащеного однотипним устаткуванням, може бути визначений за формулою
12. Відносні величини: суть, види та способи їх обчислення

Переглядів: 847