• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклад.

Таблиця основних інтегралів

Кожна формула з таблиці похідних має відповідну формулу в таблиці інтегралів.

1. . 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

4. . 10. .

5. . 11. .

6. . 12. .

Додатково варто знати формули

13. . 14. .

15. . 16. .

Правильність усіх формул перевіряється диференціюванням їх правих частин.

Є три основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод заміни змінної та метод інтегрування за частинами.

Метод розкладу.

Справедливі наступні твердження.

Теорема 1. Якщо функції мають первісні на проміжку (a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:

(1)

Теорема 2. Якщо функція має первісну на проміжку (a,b), то на цьому проміжку має первісну і функція і справедлива рівність:

, k¹0 (2)

Наслідок. Якщо функції мають первісні на проміжку (a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:

(3)

Метод інтегрування з використанням теорем 1,2 та наслідку називають методом розкладу.

Метод заміни змінної.

Теорема 3. Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на проміжку (a, b) і якщо функція x=j(x) диференційована на проміжку (a, b), причому складена функція F(j(t)) визначена на проміжку (a, b), то функція f(j (t))j’(t) на проміжку (a, b) має первісну, причому

. (4)

Метод інтегрування за допомогою теореми 3 називається методом інтегрування способом заміни змінної.

Метод інтегрування частинами.

Теорема 4. Якщо функції диференційовні на проміжку (a,b) і на цьому проміжку існує первісна для функції , то на проміжку (a, b) існує первісна і для функції і має місце рівність

. (5)

До правої частини ми не додали довільної сталої С, оскільки така стала міститься в іннтегралі .

Формула (5) називається формулою інтегрування частинами, а метод інтегрування, що грунтується нга ній – методом інтегрування частинами.

Розглянемо приклад.

,

позначивши , отримаємо

.

Деколи цю формулу птрібно застосовувати декілька разів.

.

Попутно зауважимо, що для обчислення більшості інтегралів потрібно, як правило, застосовувати різні методи.

Читайте також:

1. Наприклад.
2. Наприклад.
3. Приклад.
4. Приклад.
5. Приклад.
6. Приклад.
7. Приклад.
8. Приклад.
9. Приклад.
10. Приклад.
11. Приклад.

Переглядів: 930