МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Приклад.Приклад. Приклад. Розв‘язати систему за формулами Крамера:
Складемо та обчислимо визначники:
Тоді
3.3. Матричний запис системи лінійних рівнянь та їх розв’язування
Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими
Введемо матриці ; . Матрицю ,складену з коефіцієнтів системи, називають основною матрицею системи, матрицю – матрицею з невідомих, а матрицю – матрицею з вільних членів. Тоді згідно з правилом множення матриць систему можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею :
Припустимо, що матриця системи має обернену матрицю ; помножимо обидві частини цієї рівності на зліва:
Оскільки і , то (8) Ця формула носить назву розв‘язку матричного рівняння. Треба зауважити, що розв‘язок системи в матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи не вироджена ( тобто, визначник цієї матриці не дорівнює нулю ). Розв‘язати систему рівнянь матричним засобом:
Згідно означень, маємо
Розглядаючи тему обернена матриця, ми знаходили визначник цієї матриці та обернену до матриці матрицю
За одержаною вище формулою,знаходимо
Отже,
3.4. Розв‘язування системи лінійних рівнянь методом Гаусса.
Одним з найпоширеніших методів розв‘язування систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаусса. Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими:
За допомогою елементарних перетворень цю систему приводять до системи вигляду:
Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною. Дослідимо цю систему. § Якщо система містить рівняння виду або , то вона несумісна. § Якщо система не містить рівнянь виду ( ), то вона має безліч розв‘язків. Назвемо невідомі основними, а всі інші – вільними. Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи їх у рівняння системи, з -го рівняння знайдемо . піднімаючись угору по системі, знайдемо всі останні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь – яких значень, то система має безліч розв‘язків. § Якщо , то система має трикутний вигляд і вільних невідомих немає. Система має єдиний розв‘язок. Розв‘язати систему рівнянь методом Гаусса.
При розв‘язуванні системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не саму систему, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів. Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення, приходимо до розв‘язку системи. { зробимо коефіцієнт рівним одиниці, тобто поміняємо місцями перший та другий рядки } = = { помножимо послідовно перший рядок на (-2), (-1), (-1) та додамо відповідно до 2, 3, 4 рядків } = = { перший та третій рядки залишимо без змін, а другий помножимо на (-1) та додамо до четвертого } = = { перший та другий рядки не змінюємо, а третій помножимо на (-1) та додамо до четвертого } = = .
Отже, система еквівалентна системі трикутного вигляду І має єдиний розв‘язок x
3.4. Однорідні системи лінійних рівнянь.
Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:
Ця система завжди має нульовий розв‘язок: Ненульовий розв‘язок, якщо він є, можна знайти методом Гаусса. Якщо і визначник системи дорівнює нулю,то однорідна система має безліч ненульових розв‘язків. Покажемо, що для однорідної системи трьох рівнянь з трьома невідомими можна знайти загальні формули, що виражають ненульові розв‘язки через коефіцієнти системи. Розглянемо систему
Якщо визначник системи системи то система має єдиний нульовий розв‘язок. Дійсно, , тому за формулами Крамера Покажемо, що коли визначник то система має безліч розв‘язків. Розглянемо такі випадки. § Припустимо, що у визначнику існує принаймні один відмінний від нуля мінор другого порядку. Нехай, наприклад,
Візьмемо ті рівняння системи, що містять відмінний від нуля мінор і запишемо їх у вигляді
Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то за формулами Крамера
де
;
Оскільки може набувати будь – яких дійсних значень, покладемо , де – довільне дійсне число, тоді
; .
§ Нехай тепер визначник початкової системи і всі його мінори другого порядку дорівнюють нулю. Тоді система зводиться до одного рівняння з трьома невідомими. Надаючи двом невідомим довільних значень, знаходять відповідно їм третє невідоме. Читайте також:
|
||||||||
|