• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Розв‘язати систему за формулами Крамера:

Складемо та обчислимо визначники:

Тоді

3.3. Матричний запис системи лінійних рівнянь та їх розв’язування

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими

Введемо матриці

; .

Матрицю ,складену з коефіцієнтів системи, називають основною матрицею системи, матрицю – матрицею з невідомих, а матрицю – матрицею з вільних членів. Тоді згідно з правилом множення матриць систему можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею :

Припустимо, що матриця системи має обернену матрицю ; помножимо обидві частини цієї рівності на зліва:

Оскільки і , то

(8)

Ця формула носить назву розв‘язку матричного рівняння.

Треба зауважити, що розв‘язок системи в матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи не вироджена ( тобто, визначник цієї матриці не дорівнює нулю ).

Розв‘язати систему рівнянь матричним засобом:

Згідно означень, маємо

Розглядаючи тему обернена матриця, ми знаходили визначник цієї матриці та обернену до матриці матрицю

За одержаною вище формулою,знаходимо

Отже,

3.4. Розв‘язування системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

Одним з найпоширеніших методів розв‘язування систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаусса.

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими:

За допомогою елементарних перетворень цю систему приводять до системи вигляду:

Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною.

Дослідимо цю систему.

§ Якщо система містить рівняння виду або , то вона несумісна.

§ Якщо система не містить рівнянь виду ( ), то вона має безліч розв‘язків.

Назвемо невідомі основними, а всі інші – вільними. Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи їх у рівняння системи, з -го рівняння знайдемо . піднімаючись угору по системі, знайдемо всі останні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь – яких значень, то система має безліч розв‘язків.

§ Якщо , то система має трикутний вигляд і вільних невідомих немає. Система має єдиний розв‘язок.

Розв‘язати систему рівнянь методом Гаусса.

При розв‘язуванні системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не саму систему, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів. Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення, приходимо до розв‘язку системи.

{ зробимо коефіцієнт рівним одиниці, тобто поміняємо місцями перший та другий рядки } =

= { помножимо послідовно перший рядок на (-2), (-1), (-1) та додамо відповідно до 2, 3, 4 рядків } =

= { перший та третій рядки залишимо без змін, а другий помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =

= { перший та другий рядки не змінюємо, а третій помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =

= .

Отже, система еквівалентна системі трикутного вигляду

І має єдиний розв‘язок x

3.4. Однорідні системи лінійних рівнянь.

Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:

Ця система завжди має нульовий розв‘язок:

Ненульовий розв‘язок, якщо він є, можна знайти методом Гаусса. Якщо і визначник системи дорівнює нулю,то однорідна система має безліч ненульових розв‘язків.

Покажемо, що для однорідної системи трьох рівнянь з трьома невідомими можна знайти загальні формули, що виражають ненульові розв‘язки через коефіцієнти системи.

Розглянемо систему

Якщо визначник системи системи то система має єдиний нульовий розв‘язок. Дійсно, , тому за формулами Крамера

Покажемо, що коли визначник то система має безліч розв‘язків. Розглянемо такі випадки.

§ Припустимо, що у визначнику існує принаймні один відмінний від нуля мінор другого порядку. Нехай, наприклад,

Візьмемо ті рівняння системи, що містять відмінний від нуля мінор і запишемо їх у вигляді

Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то за формулами Крамера

де

;

Оскільки може набувати будь – яких дійсних значень, покладемо , де – довільне дійсне число, тоді

; .

§ Нехай тепер визначник початкової системи і всі його мінори другого порядку дорівнюють нулю. Тоді система зводиться до одного рівняння з трьома невідомими. Надаючи двом невідомим довільних значень, знаходять відповідно їм третє невідоме.

Читайте також:

1. Наприклад.
2. Наприклад.
3. Приклад.
4. Приклад.
5. Приклад.
6. Приклад.
7. Приклад.
8. Приклад.
9. Приклад.
10. Приклад.
11. Приклад.

Переглядів: 980