Приклад.

Об’єм тіла обертання.

Об’єми тіл, утворених обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою у=f(x), віссю ОХ і двома вертикалями х=а і x=b, навколо осей ОХ і ОY, виражаються відповідно формулами:

1) ; 2) . (8)

Обчислити об’єми тіл, утворених обертаням фігури, обмеженої однією напівхвилею синусоїди у=sinx і відрізком 0£х£p осі ОХ навколо:

а) осі ОХ і б) осі OY.

a) ;

б) .

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОY фігури, обмеженої кривою х=g(y), віссю OY і двома паралелями у=с і у=d, можна визначати по формулі:

яка одержується із приведеної вище формули 1)(8) шляхом перестановки координат х і у.

Якщо крива задана в іншій формі (параметрично, в полярних координатах і т.д.), то в приведених формулах потрібно зробити відповідну заміну змінної інтегрування.

В більш загальному випадку об’єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої кривими у₁=f₁(x) i y₂=f₂(x) (причому f₁(x)£f₂(x)) і прямими х=а, х=b, навколо координатних осей ОХ і ОY, відповідно рівні

Об’єм тіла, одержаного при обертанні сектора, обмеженого дугою кривої r=F(j) і двома полярними радіусами j=a, j=b, навколо полярної осі, може бути обчислений за формулою

. (9)

Цією ж формулою зручно кристуватися при знаходженні об’єму тіла, одержаного обертанням навколо полярної осі фігури, обмеженої деякою замкнутою кривою, заданою в полярних координатах.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Довжина дуги кривої, заданої параметрично.	\|	Площа поверхні обертання.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.