• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклад.

Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання.

Маємо (y- фіксоване), (x - фіксоване).

Аналогічно вводимо поняття частинних похідних для функції трьох і більшої кількості змінних.

Частинні похідні функції декількох змінних обраховуються за припущенням, що змінюється лише одна змінна, а всі інші залишаються фіксованими.

Приклад. Знайдемо частинні похідні функції .

Розв’язання.

Маємо (y, z -фіксовані),

( х, z -фіксовані),

( х, y -фіксовані).

Вияснимо геометричний зміст частинної похідної функції кількох змінних. Графіком функції від двох змінних є деяка поверхня . Розглянемо точку на цій поверхні та відповідну їй точку на площині Oxy. Проведемо через точку М₀ дотичну до лінії перетину поверхніз площиною y=y₀. Значення частинної похідної в точці Р₀ дорівнює тангенсу кута, утвореного з віссю Ox побудованою дотичною. Цілком аналогічно виясняється геометричний зміст і іншої частинної похідної.

Частна похідна функції кількох змінних має той самий механічний зміст, що й похідна функції однієї змінної. Це - швидкість зміни функції відносно зміни одного з аргументів.

При знаходженні частинних похідних розглядалися частинні прирости функції декількох змінних, коли один з аргументів мінявся, а всі інші залишалися незмінними (сталими). Розглянемо повний приріст, який отримує функція при змінні всіх її аргументів. Нехай задана функція від двох змінних і її аргументи отримують приріст . Тоді функція отримує повний приріст , який визначається формулою

.

Геометрично повний приріст функції рівний приросту аплікати графіка функції при переході від точки до точки .

Приріст функції можна представити у вигляді двох доданків, лінійного відносно і нелінійного, причому нелінійна чатсина прямує до нуля швидше, ніж лінійна, тому її можна вважати основною. Такою властивістю володіють різні функції. Їх називають диференційовними.

Означення. Функція називається диференційовною в точці , якщо її приріст можна представити у вигляді:

.

Головна частина приросту функції називається повним диференціалом цієї функції і позначається . Справедливе наступне твердження:

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці , то вона має перші частинні похідні в цій точці і

. (1)

Добуток частинної похідної на приріст відповідної незалежної змінної називається частинним диференціалом. Частинні диференціали позначаються так:

, .

Приклад.Знайти повний диференціал функції .

Розв’язок. Знайшовши частинні похідні і застосувавши вищевказану формулу, маємо

.

Функція, яка має повний диференціал в заданій точці називається диференційовною в цій точці. Функція, яка має повний диференціал в кожній точці області називається диференційовною в цій області.

Так як і у випадку функції однієї змінної, з диференційовнності функції слідує її неперервність, але не навпаки.

Сформулюємо достатню умову диференційовності функції.

Теорема. Якщо функція z=f(x,y) має неперервні частинні похідні по незалежних змінних в данній області, то вона диференційована в цій області і її диференціал виражається формулою (1).

Для функції більшої кількості змінних поняття диференціалу вводиться аналогічно.

Покажемо, як застосувати повний диференціал до наближених обчислень.

,

Наприклад, обчислимо .

, ,.

, ,

,.

=+.

Читайте також:

1. Наприклад.
2. Наприклад.
3. Приклад.
4. Приклад.
5. Приклад.
6. Приклад.
7. Приклад.
8. Приклад.
9. Приклад.
10. Приклад.
11. Приклад.

Переглядів: 898