• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Приклад.

Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання.

Маємо (y- фіксоване), (x - фіксоване).

Аналогічно вводимо поняття частинних похідних для функції трьох і більшої кількості змінних.

Частинні похідні функції декількох змінних обраховуються за припущенням, що змінюється лише одна змінна, а всі інші залишаються фіксованими.

Приклад. Знайдемо частинні похідні функції .

Розв’язання.

Маємо (y, z -фіксовані),

( х, z -фіксовані),

( х, y -фіксовані).

Вияснимо геометричний зміст частинної похідної функції кількох змінних. Графіком функції від двох змінних є деяка поверхня . Розглянемо точку на цій поверхні та відповідну їй точку на площині Oxy. Проведемо через точку М₀ дотичну до лінії перетину поверхніз площиною y=y₀. Значення частинної похідної в точці Р₀ дорівнює тангенсу кута, утвореного з віссю Ox побудованою дотичною. Цілком аналогічно виясняється геометричний зміст і іншої частинної похідної.

Частна похідна функції кількох змінних має той самий механічний зміст, що й похідна функції однієї змінної. Це - швидкість зміни функції відносно зміни одного з аргументів.

При знаходженні частинних похідних розглядалися частинні прирости функції декількох змінних, коли один з аргументів мінявся, а всі інші залишалися незмінними (сталими). Розглянемо повний приріст, який отримує функція при змінні всіх її аргументів. Нехай задана функція від двох змінних і її аргументи отримують приріст . Тоді функція отримує повний приріст , який визначається формулою

.

Геометрично повний приріст функції рівний приросту аплікати графіка функції при переході від точки до точки .

Приріст функції можна представити у вигляді двох доданків, лінійного відносно і нелінійного, причому нелінійна чатсина прямує до нуля швидше, ніж лінійна, тому її можна вважати основною. Такою властивістю володіють різні функції. Їх називають диференційовними.

Означення. Функція називається диференційовною в точці , якщо її приріст можна представити у вигляді:

.

Головна частина приросту функції називається повним диференціалом цієї функції і позначається . Справедливе наступне твердження:

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці , то вона має перші частинні похідні в цій точці і

. (1)

Добуток частинної похідної на приріст відповідної незалежної змінної називається частинним диференціалом. Частинні диференціали позначаються так:

, .

Приклад.Знайти повний диференціал функції .

Розв’язок. Знайшовши частинні похідні і застосувавши вищевказану формулу, маємо

.

Функція, яка має повний диференціал в заданій точці називається диференційовною в цій точці. Функція, яка має повний диференціал в кожній точці області називається диференційовною в цій області.

Так як і у випадку функції однієї змінної, з диференційовнності функції слідує її неперервність, але не навпаки.

Сформулюємо достатню умову диференційовності функції.

Теорема. Якщо функція z=f(x,y) має неперервні частинні похідні по незалежних змінних в данній області, то вона диференційована в цій області і її диференціал виражається формулою (1).

Для функції більшої кількості змінних поняття диференціалу вводиться аналогічно.

Покажемо, як застосувати повний диференціал до наближених обчислень.

,

Наприклад, обчислимо .

, ,.

, ,

,.

=+.

Читайте також:

1. Наприклад.
2. Наприклад.
3. Приклад.
4. Приклад.
5. Приклад.
6. Приклад.
7. Приклад.
8. Приклад.
9. Приклад.
10. Приклад.
11. Приклад.

Переглядів: 818