Приклад.

Приклад.

Знайти матрицю , обернену до матриці

Обчислимо визначник матриці :

Матриця не вироджена, тому обернена матриця знаходиться за наведеною вище формулою (5). Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:

Складемо обернену матрицю

Переконатися, що пропонується зробити самостійно.

2.4. Ранг матриці.

Рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю,то Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку дорівнюють нулю, або мінорів порядку не існує, тоді

Знайти ранг матриці

Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля, тому Оскільки один з мінорів другого порядку а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю (це можна перевірити ), то

Вказаний метод знаходження рангу не завжди зручний,тому що ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме:

§ Переставити місцями два рядки ( стовпці );

§ Помножити кожен елемент рядка ( стовпця ) на один і той же самий відмінний від нуля множник;

§ Додати до елементів рядка ( стовпця ) відповідні елементи другого рядка ( стовпця ), помножені на одне і те саме число.

Знайти ранг матриці .

Виконуючи елементарні перетворення, знаходимо

{ помножимо елементи першого рядка послідовно на (-3), (-5), (-1) та додамо до другого, третього ті четвертого рядків відповідно} =

{ помножимо елемент першого стовпця послідовно на (-2), (-2) та додамо до елементів другого та третього стовпців; четвертий стовпець перепишемо без змін, а перший стовпець додамо до п‘ятого }=

{ помножимо елементи другого та п‘ятого стовпців на а третього та четвертого на } =

{ помножимо другий рядок на (-1) та додамо до третього та четвертого рядків } =

{ другий стовпець помножимо на (-1) та додамо до третього, четвертого та п‘ятого рядків відповідно }=

{ третій стовпець помножимо на (-1), а потім, помноживши його на (5), додамо до четвертого стовпця}=

{ відкидаючи нульові стовпці та рядки, отримаємо } =

3. Системи лінійних рівнянь

3.1. Основні означення.

Системою – лінійних рівнянь з невідомими називається система вигляду

(6)

Числа біля невідомих називаються коефіцієнтами, а числа - вільними членами системи.

Система рівнянь називається однорідною,якщо вся її вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля. Числа ( називають розв‘язком системи, якщо при підстановці цих чисел замість невідомих усі рівняння системи перетворюються в тотожність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв‘язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв‘язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв‘язок.

Система називається невизначеною, якщо вона має більш, ніж один розвязок.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв‘язків. Еквівалентні системи дістають внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони утворюються лише над рядками матриці.

3.2. Розв‘язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.

Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими ng w:val="RU"/></w:rPr><m:t>:</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="850" w:right="850" w:bottom="850" w:left="1417" w:header="708" w:footer="708" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">

Виконаємо елементарні перетворення системи: спочатку помножимо перше рівняння на , а друге – на ( ) , а потім складемо їх. Після цього перше рівняння помножимо на , а друге – на і складемо їх. Дістанемо систему

Запишемо цю систему за допомогою визначників:

Де

Визначник , складений з коефіцієнтів заданої системи, називається визначником системи. Визначники та утворюються з визначника відповідно заміною стовпців при невідомих вільними членами. Тоді рішення системи має вигляд

(7)

Ці формули називаються формулами Крамера.

При розв‘язуванні системи можуть бути такі випадки:

§ , тоді система має єдиний розв‘язок.

§ , тоді система не має розв‘язків, тобто вона несумісна.

§ , тоді система зводиться до одного рівняння і має безліч розв‘язків, тобто є невизначеною.

Розглянемо тепер систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Обчислимо визначники

Якщо визначник системи , то система має єдиний розв‘язок, який знаходиться за формулами Крамера

Так само розв‘язуються системи лінійних рівнянь з невідомими (

До систем, у яких число невідомих не дорівнює числу рівнянь, формули Крамера застосувати не можна.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Приклад.	\|	Приклад.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.133 сек.