Тема 16. Первісна функція та неозначений інтеграл

Розділ 6. Інтегрування функції однієї змінної

Контрольні запитання

1. Як шукати частинні похідні вищих порядків?

2. Яка властивість неперервних частинних похідних?

3. Що називається диференціалом 2-го , 3-го, n-го порядку.

9. Що називається максимумом, мінімумом, екстремумом функції кількох змінних?

4. Сформулюйте алогоритм знаходження екстремумів функції.

5. Що називається умовним екстремумом?

6. Сформулюйте алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення в замкнутій області.

Мета. Розглянути поняття первісної та її зв’язок з неозначеним інтегралом, вивчити основні методи інтегрування.

План.

1. Поняття первісної.

2. Неозначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.Основні методи інтегрування.

1. У математиці поряд з прямими операціями часто доводиться розглядати оберненні до них. Наприклад, поряд з операцією додавання існує операція віднімання, поряд з множенням – ділення, поряд з показниковою функцією –логарифмічна і т.д. Зазначимо, що оберненні операції не завжди здійсненні в тій множині, що й прямі. Найпростішим прикладом є множення цілих чисел, дія ділення двох цілих чисел вже не обов’язково ціле число: наприклад, 3:2=1,5 (не ціле число). Проте на множинні дійсних чисел і пряма, і обернена операції визначенні.

Ми знайомі з операцією диференціювання функції: за даною функцією знаходимо похідну або диференціал. Припустимо, що дано деяку функцію f(x), визначену на проміжку (a,b), скінченному чи нескінченному і треба знайти функцію F(x), похідна якої рівна f(x), тобто, .

Означення. Функція F(x), визначена на проміжку (a,b), похідна якої дорівнює f(x) на цьому проміжку називається первісною або примітивною функцією до даної, або просто первісною.

Наприклад, функції в інтервалах відповідно є первісними для .

З введенням первісної виникають наступні питання.

1. Які функції мають первісні?

Без доведення приймемо наступне твердження: функція неперервна на деякому проміжку має первісну на цьому проміжку.

2. Якщо первісна для функції існує, то чи є вона єдиною?

Неважко бачити, що коли функція F(x) є первісною для f(x) на проміжку (a,b), то і будь-яка функція Y(x)=F(x)+c, де с – довільна стала є первісною для f(x) на проміжку (a,b).

Дійсно, .

3. Як знайти всі первісні, якщо відома одна з них на деякому проміжку?

Теорема. Якщо функція F(x) є деякою первісною для f(x) на проміжку (a,b), то множина всіх первісних міститься у формулі

Y(x)=F(x)+c, (1)

де с – довільна стала.

2. Множина всіх первісних функцій f(x), визначених на проміжку (a,b), називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається

Якщо F(x) – яка- небуть первісна для функції f(х) на проміжку (a,b), то, внаслідок теореми, множину всіх її первісних на цьому проміжку, тобто невизначений інтеграл від функції f(x), запишемо у вигляді,

Знак називається знаком невизначеного інтеграла, f(x) – підінтегральною функцією, f(x)dx – підінтегральним виразом.

Властивості невизначеного інтеграла.

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Дійсно,

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

Дійсно,

Таким чином, знаки диференціалу і інтегралу, розміщенні поруч взаємно знищуються.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних	\|	Приклад.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.015 сек.