Лекція №15, 16. Визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла.
1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення та умови існування визначеного інтеграла
2. Властивості визначеного інтеграла
3. Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначених інтегралів
4. Застосування визначеного інтеграла
1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення та умови існування визначеного інтеграла
Нехай на відрізку задано функцію . Фігура, обмежена графіком даної функції і відрізками прямих , називається криволінійною трапецією. Обчислимо площу цієї трапеції.
Розіб’ємо відрізок на довільних частин точками:
.
Сукупність точок позначимо через Т і назвемо Т–розбиттям відрізка .
На кожному частинному відрізку , візьмемо довільну точку і обчислимо значення . Тоді добуток , де - довжина відрізка дорівнює площі прямокутника з основою і висотою , а сума цих добутків (1) – площа ступінчатої фігури і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції:
. (2)
Сума (1) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає Т-розбиттю відрізка на частинні відрізки і даному вибору точок .
Із зменшенням усіх величин точність формули (2) збільшується, тому природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови, що максимальна довжина частинних відрізків прямує до нуля:
.
Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (1) при , яка не залежить ні від Т–розбиття, ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом .
Отже, згідно з означенням: .
Функція називається інтегрованою на відрізку . Числа називаються відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; – підінтегральним виразом; – змінною інтегрування; – проміжком інтегрування.
Площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції . У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла: визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.
Умови інтегрованості функцій:
Теорема 1 (необхідна умова інтегровності)
Якщо функція інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.
Теорема 2 (достатня умова інтегровності)
Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.