• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лекція №15, 16. Визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла.

1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення та умови існування визначеного інтеграла

2. Властивості визначеного інтеграла

3. Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначених інтегралів

4. Застосування визначеного інтеграла

1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення та умови існування визначеного інтеграла

Нехай на відрізку задано функцію . Фігура, обмежена графіком даної функції і відрізками прямих , називається криволінійною трапецією. Обчислимо площу цієї трапеції.

Розіб’ємо відрізок на довільних частин точками:

.

Сукупність точок позначимо через Т і назвемо Т–розбиттям відрізка .

На кожному частинному відрізку , візьмемо довільну точку і обчислимо значення . Тоді добуток , де - довжина відрізка дорівнює площі прямокутника з основою і висотою , а сума цих добутків (1) – площа ступінчатої фігури і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції:

. (2)

Сума (1) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає
Т-розбиттю відрізка на частинні відрізки і даному вибору точок .

Із зменшенням усіх величин точність формули (2) збільшується, тому природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови, що максимальна довжина частинних відрізків прямує до нуля:

.

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (1) при , яка не залежить ні від Т–розбиття, ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом .

Отже, згідно з означенням: .

Функція називається інтегрованою на відрізку . Числа називаються відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; – підінтегральним виразом; – змінною інтегрування; – проміжком інтегрування.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції . У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла: визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Умови інтегрованості функцій:

Теорема 1 (необхідна умова інтегровності)

Якщо функція інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2 (достатня умова інтегровності)

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.

Читайте також:

1. V. Виконання вправ на застосування узагальнювальних правил.
2. А.1 Стан , та проблемні питання застосування симетричної та асиметричної криптографії.
3. Автомобільні ваги із застосуванням цифрових датчиків
4. Акти застосування норм права в механізмі правового регулювання.
5. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
6. Акти правозастосування, їх види
7. Акти правозастосування.
8. Алгоритм із застосування річної процентної ставки r.
9. Алгоритм із застосуванням річної облікової ставки d.
10. Аміноглікозиди (стрептоміцину сульфат, гентаміцину сульфат). Механізм і спектр протимікробної дії, застосування, побічні ефекти.
11. Аналіз зображувальних засобів. Застосування цілісного аналізу
12. Антисептики ароматичного ряду (фенол чистий, іхтіол, дьоготь, мазь Вількінсона, лінімент за Вишневським). Особливості протимікробної дії та застосування.

Переглядів: 2304