Основні вимоги до статистичних оцінок.

Убагатьох випадках треба дослідити кількісну ознаку X генеральної сукупності, використовуючи результати вибірки. Часто для цього достатньо знати наближені значення математичного сподівання М(Х), дисперсії D(X), середньоквадратичного відхилення σ(Х), початкових або центральних моментів випадкової величини X.

Іноді з деяких міркувань вдається встановити закон розподілу X. Тоді треба вміти оцінювати параметри цього закону розподілу.

Наприклад, відомо, що випадкова величина X розподілена рівномірно; треба за даними вибірки наближено знайти відрізок, у якому знаходяться значення випадкової величини X.

Якщо X розподілена у генеральній сукупності за нормальним законом, то її щільність ймовірностей має вигляд

Необхідно оцінити (знайти наближені значення) параметра а, який дорівнює М(Х), та σ, який дорівнює σ(Х). Ці параметри повністю визначають нормальний розподіл X.

Якщо X розподілена за законом Пуассона, то необхідно оцінити лише один параметр λ, яким цей розподіл визначається.

Дослідник має у своєму розпорядженні лише дані вибірки, одержані в результаті спостережень. Саме через ці дані і треба виразити потрібний параметр випадкової величини X генеральної сукупності.

Статистичною оцінкою невідомого параметра випадкової величини X генеральної сукупності (теоретичного розподілу X) називається функція від випадкових величин (результатів вибірки), що спостерігаються.

Щоб статистичні оцінки давали найкращі наближення параметрів, вони повинні задовольняти певні вимоги. Розглянемо їх.

Нехай θ^* є статистична оцінка невідомого параметра θ теоретичного розподілу. Припустимо, що за вибіркою об'єму n знайдена оцінка θ^*₁ .При інших вибірках того ж об'єму одержимо деякі інші оцінки θ^*₁, θ^*₂, θ^*₃ ,..., θ^*_m . Саме θ^* можна розглядати як випадкову величину, а числа θ^*₁, θ^*₂, θ^*₃ ,..., θ^*_m як її можливі значення.

Якщо числа θ^*_k (k = 1,2,..., m) будуть більші значення θ, тоді оцінка θ^* дає наближене значення θ з надлишком. У цьому випадку математичне сподівання випадкової величини θ^*буде більше θ, М(θ*)> θ.

Якщо θ^*дає оцінку θз недостачею, тоді М(θ^*)< θ.

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не дорівнює параметру θ, приводить до систематичних (одного знаку) похибок.

Вимога М(θ^*) = θ застерігає від систематичних похибок.

Статистична оцінка θ^* параметра θ називається незміщеною, якщо М(θ^*) = θ. Оцінку θ^*називають зміщеною, якщо ця рівність не виконується.

Вимога про незміщеність оцінки θ^* є недостатньою тому, що значення θ^* можуть бути сильно розсіяні навколо свого середнього значення, дисперсія D(θ^*) може бути великою. Тоді знайдена за даними однієї вибірки оцінка, наприклад, θ^*_k може набагато відрізнятися від середнього значення θ^*, отже і від параметра θ^*.

Якщо D(θ^*) буде малою, тоді можливість припустити значну похибку буде виключена. Тому до статистичної оцінки ставиться вимога про її ефективність.

Ефективною називається така статистична оцінка θ^*, яка при заданому об'ємі n вибірки має найменшу можливу дисперсію.

При розгляді вибірки великого об'єму (n→∞) до статистичних оцінок висувають вимогу їх обгрунтованості.

Обгрунтованою називається статистична оцінка, яка при n→∞ прямує за ймовірністю до оцінюваного параметра.

Наприклад , якщо дисперсія незміщеної оцінки при n→∞ прямує до нуля, то оцінка буде і обгрунтованою.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Графічне зображення статистичних розподілів.	\|	Числові характеристики вибіркової сукупності.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.