Числові характеристики вибіркової сукупності.

Аналогічно математичному сподіванню, дисперсії та середньому квадратичному відхиленню дискретної випадкової величини визначають вибіркові характеристики, замінюючи при цьому ймовірності p_k відносними частотами вибірки n_k/n. Але у статистиці застосовують ще й інші числові характеристики.

Простим середньоарифметичним вибірки називається сума варіант вибірки, поділена на об'єм вибірки:

де х_k( k = 1,2,...,m)— варіанти вибірки, п = - об'єм вибірки.

Вибірковим середнім або зваженим середньоарифметичним називається середнє арифметичне варіант вибірки із врахуванням їх відносних частот і позначається

(10.1)

Вибіркове середнє є аналогом математичного сподівання і використовується дуже часто. Воно може приймати різні числові значення при різних вибірках однакового об'єму. Тому можна розглядати розподіли (теоретичний та емпіричний) вибіркового середнього та числові характеристики цього розподілу (цей розподіл називають вибірковим).

Основні властивості вибіркового середнього

1. При множенні усіх варіант вибірки на однаковий множник вибіркове середнє також множиться на цей множник

2. Якщо додати (відняти) до всіх варіант вибірки однакове число, то вибіркове середнє зростає (зменшується) на це число

Степеневим середнім вибірки називається таке середнє, яке знаходять за формулою

(10.2)

При α=1 одержимо формулу (10.1), тобто вибіркове середнє.

При α = 2 одержимо середньоквадратичне вибірки.

При α = - 1 одержуємо середнє гармонічне

Середнє гармонічне застосовують у тому випадку, коли шуканий показник є величина, обернена до середнього значення ознаки.

При α = 0 вираз (10.2) буде невизначеним. Застосовуючи логарифмування та правило Лопіталя для розкриття невизначеності, одержимо середнє геометричне

Це середнє обчислюється лише за умови, що усі варіанти додатні x_k >0, k =1,2,..., m.

Середнє геометричне застосовується у статистиці для визначення темпу зростання при дослідженні змін ознаки з часом.

Зауваження 1. Вибір того чи іншого середнього для характеристики розподілу пов'язаний з якісним аналізом цього розподілу.

Крім вказаних степеневих середніх, у статистиці застосовуються ще структурні середні, які не залежать від значень варіант, що розташовані на краях розподілу, а пов'язані з рядом частот.

До структурних середніх відносять моду та медіану. Нагадаємо, що модою називається значення варіанти, яка має найбільшу частоту.

Вибірковою дисперсією D_B називається середнє квадратів відхилення варіант від вибіркового середнього із врахуванням відповідних відносних частот

(10.3)

Вибірковим середньоквадратичним відхиленням (стандартом) називається квадратний корінь із вибіркової дисперсії

(10.4)

Зауваження 2. Вибіркова дисперсія дає занижені значення для дисперсії D(X) генеральної сукупності, вона буде зміщеною оцінкою D(X). Математичне сподівання D_B дорівнює

Тому вибіркову дисперсію доцільно виправити таким чином, щоб вона стала незміщеною оцінкою. Для цього достатньо D_Впомножити на дріб n/(n-1).

Виправлену вибіркову диспепсію позначають

(10.5)

Тоді виправленим середньоквадратичним відхиленням вибірки буде

Із формул (10.4) та (10.5) випливає, що при досить великих n (об'ємах вибірки) вибіркова дисперсія D_B та виправлена вибіркова дисперсія s² різняться дуже мало. Тому в практичних задачах виправлену дисперсію s² та виправлене середньоквадратичне відхилення вибірки s використовують лише при об'ємі вибірки n < 30.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Основні вимоги до статистичних оцінок.	\|	Точкові та інтервальні оцінки.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.