• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Варіаційні ряди

Причини варіювання ознак

Ознаки варіюють під впливом великої кількості різних факторів. Лише невелику частину цих факторів можливо контролювати. Контрольованими факторами є стать, вік, спортивна кваліфікація, програма спеціальної підготовки та ряд інших.

Випадковими факторами є вплив погодних умов, емоційний стан досліджуваних, мотивація тощо. Передбачити вплив усіх таких факторів на результати досліджень неможливо, тому результат є також випадковою величиною. Контрольовані і випадкові фактори є природними причинами варіювання. На варіювання результатів, окрім природних причин, впливають також помилки вимірювання. Помилки вимірювання складаються зі систематичних похибок вимірювальних приладів, власних помилок дослідника і випадкових помилок вимірювання. Дослідник завжди повинен прагнути уникнути власних помилок. Що ж до систематичних похибок вимірювальних приладів, то їх можна зменшити до малих значень, якими можна знехтувати, за допомогою підвищення точності. Випадкові помилки залежать від фізичних принципів, на основі яких створені вимірювальні прилади, тому позбутися їх або зменшити неможливо. Ці випадкові помилки разом із природними факторами (але меншою мірою) впливають на варіативність статистичних ознак. Тому в практиці спортивних вимірювань вважають, що варіативність ознак залежить лише від природних факторів.

Як згадувалося вище, первинний статистичний матеріал є ніщо інше як група розрізнених чисел, які не дають тренеру (чи досліднику) чіткого уявлення про суть явища або процесу. Задача полягає в тому, щоби цю сукупність чисел впорядкувати до певної системи і знайти її показники. Такою системою є варіаційний ряд.

Варіаційним рядомназивається подвійний ряд ранжируваних чисел, який показує, яким чином числові значення ознаки, що вивчається, пов'язані з їх повторюваністю у вибірці. Або простіше: в першому рядку варіаційного ряду - ранжирувані варіанти, а в другому - відповідні їм частоти. Частоти - це числа, які показують кількість повторень кожного варіанта в ряду. Розглянемо на конкретному прикладі, як утворити варіаційний ряд.

Приклад 1. Впродовж уроку 26 учнів виконували кидки в баскетбольний кошик по 12 спроб кожен. Учні показали такі результати влучення: 9; 2; 7; 9; 10; 6; 0; 8; 8; 10; 0; 7 9; 4; 2; 9; 8; 12; 5; 5; 0; 6; 9; 6; 8; 10.

Для складання варіаційного ряду спочатку проведемо операцію ранжирування даних чисел, тобто розташування їх у певному порядку (зростання чи спадання, в даному випадку- в неспадному):

0; 0; 0; 2; 2; 4; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 12. Перепишемо цю інформацію в два рядки, причому в першому вкажемо кількість влучень (позначимо її через х_і), а в другому - відповідну кількість учнів (n_і). Літерою і позначається індекс, який відповідає порядковому номеру варіанта і змінюється від 1 до деякого натурального числа (в даному прикладі індекс і набуває значень від 1 до 10).Отже,

x₁=0, n₁=3; x₃=4, n₃=1; x₅=6, n₅=3; x₇=8, n₇=4; x₉=10, n₉=3;

x₂=2, n₂=2; x₄=5, n₄=2; x₆=7, n₆=2; x₈=9, n₈=5; x₁₀=12, n₁₀=1.

Варіаційний ряд матиме такий вигляд:

Тут х_і - варіанти, n_і - частоти, n - об'єм вибірки.

Об'єм вибірки дорівнює сумі всіх частот, тобто:

(Σ - сигма - літера грецького алфавіту, означає суму по індексу і, який змінюється в даному прикладі від 1 до 10).

Варіаційний ряд можна розташувати як горизонтально, так і вертикально. (Надалі будемо користуватися переважно вертикальним розташуванням).

Складений варіаційний ряд є прикладом безінтервального варіаційного ряду, який застосовується в тих випадках, коли ознака варіює дискретно й слабо. Якщо ж розглядувана ознака варіює неперервно або дискретно, але в широких межах, то будують інтервальний варіаційний ряд. Для цього визначають кількість інтервалів (k) за формулою: k=1+3,32 lg n або за спеціальною таблицею:

"Вибір числа інтервалів групування" Крім того, визначають ширину інтервалів (h) за такою

формулою (1.1)

де: k- кількість інтервалів;

x_max - найбільша варіанта;

x_min - найменша варіанта.
Нижню межу першого інтервалу визначають так: Xн₁ = X_min – h/2.(1.2)

Пояснімо на прикладі, як побудувати інтервальний варіаційний ряд.

Приклад 2

Група з 70 школярів у тесті "Стрибок у висоту з місця" показали результати: 35 39 30 30 27 25 45 24 30 47 28 31 41 36 38 40 25 31 41 25 31 31 36 38 39 36 27 29 30 31 35 31 35 41 36 40 31 40 36 36 51 36 38 33 29 32 35 40 42 44 44 44 42 44 42 42 37 30 30 28 36 37 45 32 41 32 30 29 26 31. Завдання: упорядкувати дані у вигляді інтервального варіаційного ряду.

За таблицею "Вибір числа інтервалів групування" визначимо кількість інтервалів – k: для n=70 виберемо k=8.

Обчислимо ширину кожного інтервалу: h=1/8(51-24)=3,375≈4 (округлювати значення ширини інтервалу завжди слід з надлишком). Знайдемо нижню межу першого інтервалу: Хн₁= 24 - 4/2 = 22. Оформимо обчислення для зручності в таблицю:

Якщо значення варіанта потрапляє точно на межу між інтервалами, то верхню межу кожного інтервалу зменшують на величину, що дорівнює точності вимірювання ознаки (в даному прикладі на 1). В другій графі таблиці поряд з деякими варіантами в дужках указано, що їх значення треба зменшити на 1.

В останній графі записують накопичені частоти, які одержують шляхом послідовного додавання частот попередньої графи. Остання сума з графи накопичених частот має збігатися з об'ємом вибірки n.

Побудувавши інтервальний варіаційний ряд, його перетворюють в ряд переривчастого варіювання, тобто знаходять серединні значення інтервалів (класів). Тож остаточний вид варіаційного ряду такий:

Варіаційні ряди можна представити графічно, відклавши по горизонтальній осі ОХ_і значення варіант, а по вертикалі Оn_і - значення частот (рис. 1).

Побудуємо графік варіаційного ряду за наведеним прикладом 1. На координатних осях відкладемо в певному масштабі значення Х_і та n_і. Масштаби на обох осях можуть бути однакові або ж різнитися. Графіком варіаційного ряду буде множина точок, координатами яких є відповідні пари значень (Х_і;n_і), а саме, точки: (0;3), (2;2), (4;1),(5;2), (6;3), (7;2), (8;4), (9;5), (10;3), (12;1). Якщо послідовно з'єднати ці точки відрізками прямих, отримаємо ламану, яка носить назву полігону частот. Полігон частот використовується для графічного зображення розподілів як неперервних, так і дискретних ознак.

Запитання для самопідготовки

1. Що собою представляє математична статистика як наука? Навести приклади її застосування у фізичному вихованні та спортивній практиці.

2. Яка сукупність називається генеральною?

3. Що таке репрезентативність вибірки? Які існують способи утворення вибірки?

4. Які існують причини варіативності ознак?

5. Що називається варіаційним рядом? Як утворити безінтервальний та інтервальний варіаційний ряд?

6. Що таке полігон частот? Як його побудувати?

Читайте також:

1. Варіаційні ряди та їх характеристики

Переглядів: 4573