Помножимо основне рівняння динаміки (1.86) скалярно на вектор елементарного переміщення
,
(в лівій частині рівняння враховано, що ).
Проведемо інтегрування цього рівняння вздовж траєкторії, наприклад, від точки 1 до точки 2
.
Зауважимо, що інтеграл справа дає роботу і перетворимо підінтегральний вираз зліва до іншого вигляду
(1.89)
(в ході перетворень бралось до уваги, що ; ).
Тепер продиференціюємо вираз для маси
або . (1.90)
Порівнюючи формули (1.89) і (1.90), бачимо, що підінтегральний вираз зліва дорівнює .
Отже,
.
Звідки .
За загальним законом збереження і перетворення енергії
.
Тоді
.
Легко переконатись способом підстановки, що останнє рівняння перетворюється в тотожність при
, де – довільна стала величина.
Покладемо тимчасово, що і перетворимо формулу до іншого вигляду:
.
Зауваживши, що величина дає релятивістський імпульс , маємо
або
(отримані формули виражають зв’язок між енергією і імпульсом в релятивістській механіці).
Тепер запишемо першу формулу дещо по-іншому
.
Права частина цього виразу є інваріантною величиною, тобто однаковою в усіх інерціальних системах відліку. Отже, і ліва частина має бути інваріантною. Експериментальні дослідження над швидкими частинками підтвердили інваріантність згаданого виразу. І тому відповідно до досліду константу інтегрування мусимо брати рівною нулю.
Таким чином,
або . (1.91)
Якщо тіло нерухоме , то . Бачимо, що енергія не зводиться до кінетичної і тому її називають повною або релятивістською енергією. Енергію називають енергією спокою тіла; вона є внутрішньою енергією тіла.
Рівняння (1.91) виражає один із фундаментальних законів природи – закон взаємозв’язку маси і енергії: повна енергія тіла дорівнює добутку релятивістської маси тіла на квадрат швидкості світла у вакуумі.
Зауважимо, що експериментальні підтвердження закону взаємозв’язку маси і енергії дають ядерні реакції. Характерним наслідком їх є так званий дефект маси (див. розділ “Ядерна фізика”).
Кінетичну енергію в релятивістській механіці визначають як різницю і
.
У випадку малих швидкостей цю формулу можна перетворити таким чином:
,
тобто ми приходимо до класичного виразу кінетичної енергії.