Агрегування та факторизація

Агрегування відношень. Поняття фактор–відношення

Агрегування, або укрупнення відношень дає змогу виявити та дослідити їх загальні властивості, а також розробити процедури корегування відношень, отриманих експертним шляхом. У разі агрегування структуру первісного відношення переносять з однієї множини – носія – на іншу, одержану як результат гомоморфного відображення носія первісного відношення.

Елементи множини–носія А_D в агрегованого відношення P_D можна розглядати як підмножини (класи) множини А – носія первісного відношення, що утворюють її розбиття. Отже, якщо

і для будь–яких i, j, i ¹ j, А_i Ç A_j = Æ.

Приклад 2.25. Відношення Р подано матрицею В(Р) та відповідним графом G(P), а відношення P_D – за допомогою розбиття множини А = {х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇} – носія відношення Р – на класи загального виду A₁ = {х₁, х₂}, А₂ = {х₃, х₅}, А₃ = {х₆, х₇}, А₄ = {х₄}. Отже, А_D = {A₁, А₂, А₃, А₄} – носій агрегованого відношення є Р_D (рис. 2.5, 2.6)


Рис. 2.5. Граф бінарного відношення Р	Рис. 2.6. Граф агрегованого відношення Р_D

ОЗНАЧЕННЯ 2.38. Відношення P_D з носієм А_D, визначене через первісне відношення Р з носієм А співвідношенням,

називається фактор–відношенням, отриманим за допомогою факторизації первісного відношення Р за певним іншим відношенням D.

Отже, А_i й A_j знаходяться у відношенні P_D тоді й лише тоді, коли знайдеться хоча б одна пара елементів із цих підмножин, які знаходяться у відношенні Р.

Для прийняття рішень важливий випадок, коли факторизація виконується за відношенням еквівалентності [43].

Нехай на множині А задано відношення еквівалентності D. Тоді її можна розбити на класи еквівалентних елементів. Справді, візьмемо довільний елемент х₁ÎА й утворимо клас А₁, що складається з х₁ і всіх еквівалентних йому елементів. Потім оберемо елемент х₂ÎА\A₁ (якщо такий знайдеться) й утворимо клас А₂, що складається з х₂ та всіх еквівалентних йому елементів. Продовжимо цей процес доти, поки не буде виконано умову , тобто поки не розглянемо всіх елементів. Таким способом отримаємо систему класів А₁, А₂, ..., яка для нескінченної множини – може бути теж нескінченною, і кожен елемент множини А належатиме до певного класу, тобто

де I – множина індексів класів.

Множина класів {А_i}, іÎІ, є розбиттям множини А: класи попарно не перетинаються; будь–які два елементи одного класу еквівалентні; будь–які два елементи різних класів не еквівалентні. Отже, за відношенням еквівалентності завжди можна побудувати фактор–відношення.

Наприклад, за відношенням подібності нескінченну множину трикутників можна розбити на нескінченну кількість класів, а множину натуральних чисел N за відношенням «мати спільну остачу від ділення на 3» – на три класи: A₁ = {3, 6, 9, ...}, А₂ = {1, 4, 7, ...}, А₃ = {2, 5, 8,...}.

Читайте також:

Факторизація

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Типи бінарних відношень у теорії прийняття рішень	\|	Властивості факторизованих відношень

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.