• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Математичні моделі росту чисельності популяції

Основоположником математичних популяційних моделей прийнято вважати Т.Мальтуса, що працював наприкінці 18-го століття. Закон Мальтуса, що визначає експонентний ріст популяції, має сенс лише на обмежених тимчасових інтервалах. Моделі, запропоновані надалі, стали описувати стабілізацію, що спостерігається часто в природі, чисельності популяції, наприклад, за рахунок вунутрішньої конкуренції (модель Ферх’юльста). Наступним великим кроком вважається моделювання взаємодії двох і більш видів, почате в 20-х роках нашого сторіччя роботами А. Лоттки і В.Вольтерра.

Усі процеси в співтовариствах живих об'єктів відбуваються в часі й у просторі. У ряді випадків можна вважати, що у всіх частинах розглянутого об’єму процеси синхронні. У цьому випадку найпростіші точкові моделі описуються системою диференціальних рівнянь:

де x_i - чисельність i-ї популяції (кінетичні рівняння).

Величини F (х₁, х₂, ..., х_n) - нелінійні функції. Як правило, вони складаються з декількох доданків. Позитивні члени описують прибуток компонента, негативні - його збиток.

Розглянемо три математичні моделі, що дозволяють знайти залежність зміни чисельності популяції від часу для різних умов функціонування системи.

I. Модель природного росту чисельності популяції (модель Мальтуса)

Створення моделі проведемо за вищеописаною схемою.

Реальна система: є деяка популяція одного виду (мікроорганізми, зайці і т.п.), у якій відбуваються життєві процеси у всьому їхньому різноманітті.

Постановка задачі. Знайти закони зміни чисельності популяції в часі.

Основні допущення.

1. Існують тільки процеси розмноження і природної загибелі, швидкості яких пропорційні чисельності особин у даний момент часу.

2. Не враховуємо біохімічні, фізіологічні процеси.

3. Немає боротьби між особинами за місце проживання, за їжу (нескінченно великий простір і кількість їжі).

4. Розглядаємо тільки одну популяцію, немає хижаків.

Модель.

Уведемо величини:

x - чисельність популяції в момент t;

R - швидкість розмноження, g - коефіцієнт розмноження;

S - швидкість природної загибелі, s - коефіцієнт природної загибелі;

dx/dt - швидкість зміни чисельності популяції, e - коефіцієнт росту.

Тоді R = gx, S = -σx.

Складемо диференціальне рівняння балансу. Зміна чисельності особин в одиницю часу визначається кількістю породжених за цей час і померлих:

або

(8.1)

Початкова умова: при t = 0 чисельність особин x = x₀.

Вирішимо рівняння:

звідси

Аналіз рішення.

а) e < 0 (при s > g), тобто швидкість загибелі більше швидкості розмноження. Чисельність особин згодом упаде до нуля (мал. 8.1а);

б) e> 0 (при s> g), тобто швидкість розмноження більше швидкості загибелі. Чисельність особин необмежено росте згодом (мал. 8.16);

в) e = 0 (при s= g), тобто швидкість загибелі дорівнює швидкості розмноження. Чисельність особин не змінюється, залишаючись на початковому рівні.

Модель при e > 0 адекватна реальності лише до визначених значень часу. Відповідно до даної моделі, що розглядає зменшення чисельності особин тільки за рахунок природної загибелі, їхня чисельність повинна нескінченно зростати згодом (мал. 8.16), що не відповідає реальності. При великій кількості особин можливе зменшення їхньої чисельності за рахунок інших механізмів, наприклад, за рахунок боротьби за місце проживання, за їжу.

II. Модель зміни чисельності популяції з урахуванням конкуренції між особинами (модель Ферх’юльста)

Ускладнимо розглянуту вище модель. З метою одержання рішення серед допущень, приведених у моделі I, знімемо допущення 3. Нехай існує боротьба між особинами, наприклад, за місце проживання, тим самим додається додаткове джерело загибелі. Вважаючи, що швидкість загибелі за рахунок конкуренції між особинами пропорційна імовірності зустрічей двох особин, можна записати S = -δx×x – σx (δ - коефіцієнт пропорційності). Тоді рівняння балансу чисельності особин:

або

(8.3)

Це нелінійне диференціальне рівняння. Зробимо заміну змінних:
U = (εx – δx²). Тоді з врахуванням, що при t = 0 x = x₀, одержимо:

ln (x / x₀) – ln ((ε-δx)/(ε-δx₀)) = εt.

Звідси

Видно, що з часом x не іде в нескінченність, а виходить на стаціонарний рівень, .

Моделі I і II є основою моделювання процесів у біотехнології (наприклад, для встановлення оптимальних режимів вирощування різних мікроорганізмів).

Модель "хижак-жертва" (модель Вольтерра)

Серед допущень, введених у моделі I, знімемо допущення 4. Нехай у деякому просторі живуть два види особин: зайці (жертви) і рисі (хижаки). Зайці харчуються рослинною їжею, що є завжди в достатній кількості (між ними відсутня внутрішньовидова боротьба). Рисі можуть харчуватися тільки зайцями.

Уведемо величини:

x - число жертв у момент t;

у - число хижаків у момент t.

Рівняння балансу між чисельністю народжених і особин, що гинуть:

Жертви:

Хижаки:

або

(8.4)

Це складна система нелінійних диференціальних рівнянь. Спочатку знайдемо стаціонарне рішення x = const, у = const, тобто dx/dt = 0, dy/dt = 0. Система диференціальних рівнянь при цьому зводиться до алгебраїчної:

Розглянемо рішення:

х_ст = β/δ; у_ст = ε/α. (8.5)

Спростимо систему рівнянь (8.4), припускаючи, що відбулися малі відхилення чисельності хижаків V(t) і жертв U(t) щодо стаціонарних значень:

(8.6)

(8.7)

Тоді

або

З огляду на (8.4) і зневажаючи членами другого порядку малості і , одержимо систему рівнянь

(8.8)

яку легко звести до диференціальних рівнянь другого порядку щодо змінних U і V:

(8.9)

(8.10)

Це характерні рівняння для опису гармонійних коливальних процесів. Рішення рівнянь:

Відношення амплітуд відхилень:

У результаті чисельності особин при малих відхиленнях від стаціонарних значень рівні:

Таким чином, чисельності популяцій x і у зазнають гармонійних коливань щодо стаціонарних значень з однаковою частотою ω = , але зміщені по фазі на φ_0. Періодичність зміни чисельності хижаків і жертв спостерігалася і на досліді. На мал. 8.3 приведені дослідні дані по кількості числа добутих шкурок зайців і рисі у Канаді з 1845 по 1935 р.

Залежність у від x можна представити й у виді фазового портрета. Для періодичних залежностей портрет має вигляд еліпса (мал. 8.4), центр якого відповідає стаціонарним значенням.

Допустимо, відбулося відхилення чисельності зайців від стаціонарного значення (1à2). Якщо число зайців зросло, то число рисей також збільшується, але кількість зайців при цьому поступово почне зменшуватися (3). Це спричинить зменшення числа рисей (4), а отже збільшення числа зайців (1).

Модель «хижак-жертва» використовується в даний час у медицині. Так при моделюванні онкологічних захворювань пухлинні клітки розглядаються як жертви, а лімфоцити, що можуть їх придушувати, як хижаки. У цьому випадку моделювання дозволяє одержати нові знання про процеси міжклітинної взаємодії при цих патологіях, знаходити шляхи оптимальної стратегії лікування, створювати нові засоби боротьби з ними.

Самоорганізація. Синергетика. Виникнення мимовільне (тобто без яких-небудь періодичних зовнішніх впливів, а тільки за рахунок власних властивостей системи) коливань у системі "хижак-жертва" являє класичний приклад самоорганізації. Перші дослідження явища самоорганізації були проведені І.Р. Пригожиним і його колегами в 1960-і роки.

Тут ми бачимо прояв динамічної упорядкованості, властивої складним відкритим системам, далеким від рівноваги. У таких системах (фізичних, хімічних, біологічних, екологічних) за певних умов можуть виникнути процеси самоорганізації в часі й у просторі.

Напрямок у науці, зв'язаний з вивченням загальних закономірностей утворення упорядкованих тимчасових і просторових макроструктур, називається синергетикою.

Термін «синергетика» походить від грецького synergetikos - спільна, погоджена, кооперативна дія. Синергетика виникла на початку 70-х рр. 20-го століття. Цей термін увів Г. Хакен для об'єднання всіляких процесів самоорганізації в макроскопічних системах завдяки взаємодії великого числа елементарних підсистем.

Виникнення мимовільне часової-тимчасової-просторово-тимчасової упорядкованості на макроскопічному рівні можливо тільки при сукупній, кооперативній взаємодії великого числа об'єктів у складних відкритих системах.

Основою синергетики служить єдність явищ і моделей, з якими приходиться зіштовхуватися при дослідженні процесів виникнення порядку з хаосу (так званих дисипативних структур). Прикладом самоорганізації у фізичних явищах є осередки Бенара, у хімії - реакція Белоусова-Жаботинського, у біофізиці - поширення нервового імпульсу, у кардіології - виникнення фибрилляції шлуночків серця, в екології - організація співтовариств, у космології - спіральні галактики.

Читайте також:

1. N – чисельність популяції
2. А середній коефіцієнт росту в такому випадку визначається як
3. Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
4. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
5. Аналіз економічноїї політики за допомогою моделі Мандела-Флемінга. Випадки вільного та фіксованого валютного курсів.
6. Аналіз чисельності, складу і руху персоналу
7. АНАЛІЗАТОРІВ У ПРОЦЕСІ РОСТУ ТА РОЗВИТКУ ЛЮДИНИ.
8. Аналітичний підбір математичної моделі.
9. Бізнес-моделювання в системі управління розвитком підприємства. Поняття та етапи формування бізнес-моделі
10. Будь – які зміни популяції є результатом порушення рівноваги між її біотичним потенціалом та опором довкілля.
11. Вибір підходу до процесу соціальної роботи зале­жить від теоретичної моделі, якої дотримуються соці­альні працівники, обраної стратегії втручання і методу соціальної роботи.
12. Види світогляду: міфологічний, релігійний та філософський (натуралістична, об’єктивно-ідеалістична, субєктивно-ідеалістичні і матеріалістичні моделі).

Переглядів: 2821