Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Дії над матрицями

 

Нехай задано дві матриці однієї розмірності m × n :


 

 


a11 a12 ... a1n   b11 b12 ... b1n    
a   a   ... a     b b ... b    
A =   ...   2n , B = 21 ... 2n .  
... ... ... ... ... ...  
am1 am 2 ... amn bm1 bm 2 ... bmn  
                           

Означення. Сумою (різницею) двох матриць А і В назива-ється така матриця С розмірності m × n , елементи якої сij до-

 

рівнюють алгебраїчній сумі ( різниці ) відповідних елементів aij і bij матриць А і В , тобто

a11 ± b11 a12 ± b12 ... a1n ± b1n    
a   ± b a   ± b ... a   ± b    
C = A ± B =   ...   2n 2n .  
...     ...     ...    
am1 ± bm1 am 2 ± bm 2 ... amn ± bmn  

Із цього означення випливають властивості:

1. A + B = B + A (комутативність);

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (асоціативність);

 

3. A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральність);

 

4. ( A ± B )T = AT ± BT (транспонованість).Приклад 1.Знайти суму і різницю матриць.

A = 3 1 2 , В = 2 1 4 .        
4 1 0   − 3 5 6          
Розв’язування.                
  3 + 2   1 + 1 2 + ( 4 ) 5 0 − 2 ,  
A + B =       =      
  4 + ( 3 ) 1 + 5 0 + 6 1 6    
  3 − 2   1 1 2 ( 4 ) 1 − 2  
A − B =       = 4   .  
  4 − ( 3 ) 1 5 0 − 6 7 − 6  

Приклад 2.Три магазини“Продтовари”продають продуктипротягом робочого дня. Дані про торгівлю двох змін характеризу-ються таблицями:

І зміна

Вид продукції 1 магазин 2 магазин 3 магазин
Масло селянське (кг)
Ковбаса (кг)
Мінеральна вода (шт. пл. )
Горілка (шт. пл. )

 


ІІ зміна

 

Вид продукції 1 магазин 2 магазин 3 магазин
Масло селянське (кг)
Ковбаса (кг)
Мінеральна вода (шт. пл. )
Горілка (шт. пл. )

 

Знайти дані про сукупний одноденний продаж товару кожним магазином.

 

Розв’язування. Зміст цих таблиць можна записати у виглядідвох прямокутних таблиць:

               
               
А =   , В =     .        
                 
    21 25 35 23 28 34          
Сума цих двох матриць характеризує дані про сукупний одно-    
денний продаж кожного із видів продукції:                  
   
               
С = A + B =   + =     .    
           
                           
21 25 3523      
Означення. Добутком матриці A на число k (або числa k    
на матрицю A ) називається матриця , елементами якої є до-    
бутки елементів матриці A на число k :                  
    a11 a12 ... a1n ka ka12 ... ka1n  
                                 
A ⋅ k == k A = k a21 a22 ... a2 n = ka21 ka22 ... ka2 n .  
    ...   ... ... ... ...   ... ... ...    
      am 2 ...         kam 2 ...      
    am 1 amn kam 1 kamn  

Із означення добутку матриці на число (або числа на матрицю) ви-пливає, що

 

1. k( mA ) = ( km )A;

 

2. ( k + m )A = A( k + m ) = kA + mA = Ak + Am;

 

3. λ( A + B )AB;

 

4. λA = 0 , якщоλ= 0;

5. λA = 0 , якщо A = 0.


 


Приклад 3.Знайти матрицю4 A,якщо матриця

− 2  
  1  
A = − 3 .  
     
   

Розв’язування. Згідно з означенням,одержимо:

4 ⋅ 3   4 ⋅ 1 4 ⋅ ( −2 ) 8  
  4 ⋅ 4   4 ⋅ 0 4 ⋅ ( −1 ) 4  
4 A = 4 ⋅ 2 (3 ) 4 ⋅ 5   =   .  
      12 20  
  4 ⋅ 6   4 ⋅ 2 4 ⋅ 0      

Приклад 4.Обчислити матрицюC=2 A4B,якщо

 

3 2    
A = 5 − 1 , B = − 2 4 .
               
       
               

Розв’язування. Використавши формулу множення матриці начисло і формулу віднімання матриць, одержимо:

           
2 A = 10 2 , 4B =   8 16 ,    
                         
                 
                         
       
C = 10 − 2 − 8 16   = 18 − 18 .  
                  − 24    
    8 24        
                         

Приклад 5.Підприємство виробляє три види продукціїА,В,С.Норми витрат ресурсів на одиницю продукції задані в таблиці:

Ресурси А В С
Сировина X (шт.)
Сировина Y (кг) 1,5 1,4
Сировина Z (кг) 2,3

Знайти витрати ресурсів на виготовлення 6 комплектів проду-

 

кції.

Розв’язування. Витрати ресурсів на виробництво одиниці ви-робів можна представити у вигляді матриці:


 


 
A = 1,5 1,4 .
         
2,3
         

Кожен елемент матриці має певний економічний зміст. На-приклад, a21 = 2 означає, що на виготовлення одиниці виду продук-

ції A витрачається 2 кг сировини Y ; елемент a12 = 4 означає, що

для виготовлення одиниці виду продукції B потрібно витратити 4 шт. одиниць сировини X .

 

Очевидно, що для знаходження витрат на виготовлення 6 комплектів продукції, потрібно обчислити матрицю 6A , тобто

   
6 A = 6   1,5 1,4   = 8,4 .
                     
  2,3   13,8  
                     

Зауваження. Множення матриці на число відрізняється відмноження визначника на число. Матрицю множать на число k , по-множивши всі її елементи на це число. Якщо визначник множать на число k , то множать на нього всі елементи одного якогось рядка (або стовпця).

 

Нехай матриця A містить m рядків і p стовпців, а матриця B має p рядків і n стовпців.

Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С, елементи сij якої дорівнюють сумі добутків елементів i-го ря-дка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B,

тобто cij=ai 1b1 j+ai 2b2 j+...+aipbpj ( i=1,2,...,m; j=1,2,...,n ).

 

Добуток матриці A на матрицю B позначають АВ ( A× B ). Множення матриці A на матрицю B виконується за такою схемою:


a11 a12 ... a1 р   . b   .     . .  
... ... ...       1 j          
a       b   .     . c    
a   a           2 j   =     ij  
  і1   і2     ір . . . . .  
... ... ... ...   . b   .   . .  
am1 am 2 ... amp       pj            


. .

. .

. . .

. .


Тут елемент cij знаходять як скалярний добуток елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j -го стовпця матриці B .


 


Добуток матриць характеризується властивостями:

1. AE = EA = A;

 

2. A 0 = 0 A = 0;

3. AB BA (некомутативність);

4. ( AB )C = A( BC ) (асоціативність);

5. ( A + B )C = AC + BC , (дистрибутивність);

 

C( A + B ) = CA + CB

 

6. ( A B )T = BT AT .

 

Ця властивість має місце для довільного числа множників

  ( A ⋅ A ...A − 1 A )T = A T A T ...A T A T .        
  n   n n n− 1        
  7. Визначник добутку двох квадратних матриць рівний добут-  
ку їх визначників.                        
  Приклад 6.Знайти добуткиABіBA,якщо        
              2 , B =        
            A =              
              3   − 1        
і переконатись, що ABBA .                
  Розв’язування.                    
  1 − 2 2 0 1⋅ 2 + (2 )(1 ) 1 0 + (2 ) 54 10  
AB =       =           =   .  
  3 4 1 5 3 ⋅ 2 + 4 (1 ) 3 ⋅ 0 + 4 52 20    
Аналогічно   1 − 22 1 + 0 3 2 ⋅ (2 ) + 0 42 4    
BA = 2 0      
        = 1 )⋅ 1 + 5 3 (1 ) (2 ) + =   .  
  1 5   3 4( 5 ⋅ 414 22    
Звідси випливає, що ABBA .                
  Приклад 7.Знайти добутокAB,якщо          
            = 1 2 − 1 , − 3 2      
        A B = 0 2 .      
                   
                               
  Розв’язування.                    
1⋅ (3)+ 2 1+ (1) 6 1 (2)+ 2 0 + (1) (4) 1 5 + 2 2 + (1)7 =  
AB=           0⋅ (2)+ 3 0 + 4 (4) 0⋅ 5 + 3    
0⋅ (3)+ 3 1+ 4 6 2 + 4⋅7    
−7                        
=   .                        
− 16 34                        

(Тут добуток BA невизначений, оскільки кількість стовпців першої матриці не дорівнює кількості рядків другої матриці).


 


                − 3  
  Приклад 8.Знайти добутокAE,якщоA=0 − 2 .  
                    − 4    
                − 1    
  Розв’язування.                
                 
  1 2 − 3 1 0 0              
AE=   − 2 4 0 1 0 =              
                         
  1 5 4 0 0 1              
                         
1⋅ 1+ 2 0 + (3) 0 1⋅ 0 + 2 1+ (3) 0 1⋅ 0 + 2 0 + (3)⋅ 1    
= 0 1+ (2) 0 + 4 0 0⋅ 0 + (2) 1+ 4 0 0⋅ 0 + (2) 0 + 4 1 =  
      5⋅ 0 + (4 ) 0 (1) 0 + 5 1+ (4 ) 0 (1) 0 + 5        
(−1) 1+ 0 + (4 )⋅ 1    
                         
  − 3                  
= 0   − 2 4 .                  
                         
− 1 − 4                  
                         
  (Легко переконатись, що має місце і рівність EA=A).      
  Приклад 9.Знайти добутокAB,якщо            
          3 − 1        
          =− 3 .        
          A = 4 − 2 1 , B        
                         
              4        

Розв’язування. Добуток цих матриць можливий,оскільки кі-лькість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B. Одержимо

            2 ⋅ 5 + 3 (3 ) + (1 ) ( −4 )    
          3      
  AB =   − 2         =                 = .  
  4     1   4     4 ⋅ 5 + (2 )(3 ) + 1 ⋅ ( −4 )    
                                             
                                − 1      
  Приклад 10.Задано матрицюA=2 1 . Знайти А2.  
                                  − 2        
                                − 3      
  Розв’язування.                              
A2 = A A = 3 − 1 4 3 − 1 4 =            
      0 1 . 2     0 1            
                                           
      3 2 5 − 3   2 5              
9 − 2 − 12   + − 8 12 − 1 + 5 11 31      
  6 + 0 − 3   + − 2   + 0 + = − 4 13 .      
                                  − 28          
  9 4 15 3 + 0 10 12 2 + 25   − 7 11      


Зауваження 1. Добуток двох матриць може бути нульовою ма-трицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.

 

Приклад 11.Знайти добуток матриць:

  2 0    
  A⋅ B =− 3 0 ⋅ 4 1 =  
                     
    1 − 2 6      
                     
2 ⋅ 0 + 0 4 + 0 1 2 ⋅ 0 + 0 5 + 0 (2 ) 2 ⋅ 0 + 0 (1 )+ 0 6    
( −3 )⋅ 0 + 0 4 + 0 1 (3 ) 0 + 0 5 + 0 (2 ) (3 ) 0 + 0 (1 ) + 0 ⋅ 6 =  
    0 + 0 4 + 0 1 3⋅ 0 + 0 5 + 0 (2 )      
  ( −3 ) 0 + 0 (1 ) + 0 ⋅ 6    
               
         
= 0 0 .        
               
         
               
                                 

Зауваження 2 .Добуток двох діагональних матриць одного ітого ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.

 

Приклад 12.Знайти добуток діагональних матриць:


a11  
    a22  
A =        
... ...  
         
0    
  a   b  
    11 11  
Тоді AB =      
  ...  
       
       

 

  ...     b  
               
  ... , B =    
  ... ...   ...  
                 
  ... ann   0  
    ...      
a b   ...      
        .  
  ...   ... ...    
                 
    ... annbnn  

 

...  
b ...  
    .
... ... ...
       
... bnn

Для таких двох матриць добуток комутативний:

A B = B A.

Приклад 13.Торговельно-будівельна компанія уклала договірна будівництво 6 житлових будинків, 3 офісних будинків і 4 будинків відпочинку. Ціни на окремі види матеріалів такі:цегла – 32

 

у.о./тис. шт., цемент – 300у.о./т., ліс круглий - 44у.о./ м3 , оцинкова-

не залізо - 6 у.о./ м2 , скло - 5 у.о./ м2 .

Інформація про кількість матеріалів на кожний вид будівниц-тва представлена в таблиці:


 


Вид бу- Цегла Цемент Ліс круглий Оцинковане Скло  
дови (тис. шт.) (т) 2) залізо 2) 2)  
           
             
Житловий  
будинок  
           
Офісний  
будинок  
           
Будинок  
Відпочинку  
           

Портібно знайти:

 

1)загальну кількість матеріалів;

2)ціну матеріалів для кожного виду будови;

 

3)загальну вартість матеріалів.

Розв’язування. 1)Запишемо у вигляді матриціАдані,які ха-рактеризують кількість матеріалів на кожний вид будови, а дані про ціни їх у вигляді матриці-стовпця С.

                 
       
                   
А = 84                
  ,С = 44 .  
                     
     
                     
                   
                   
Позначимо дані про договір, укладений на будівництво  
споруд через В = [6 3 ].                

Щоб знайти загальну кількість матеріалів для будівництва, потрібно перемножити матриці В і А і знайти добуток BA , тобто

=[6 3 4]⋅84 140 = [ 960 116 506 2580 1780 ].
         

Таким чином, для виконання договору на будівництво 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку компанія повинна придбати: 960 тис. шт. цегли;116 т цементу; 506 м3 круглого лісу; 2580 м2 оцинко-ваного заліза і 1780 м2скла.

 

2) Щоб знайти загальну вартість матеріалів для кожного виду будівництва, потрібно перемножити матрицю А на матрицю-стовпець С , складену із чисел, які характеризують ціни на відповідні матеріали :


 


                   
    =    
  АС = 84        
             
                       
                       
⋅ 32 + 9 300 + 41 44 + 210 6 + 120 ⋅ 5      
= 84 32 + 10 300 + 40 44 + 200 6 + 140 ⋅ 5   = 9348 .  
  32 +<

Читайте також:

  1. Дiї над матрицями
  2. Дії над матрицями
  3. Дії над матрицями




Переглядів: 986

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Рицею-стовпцем. | Обернена матриця

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.067 сек.