Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Дії над матрицями

Нехай задано дві матриці однієї розмірності m × n :

a₁₁

^a12

...

^a1n

b₁₁

^b12

...

^b1n

...

A =

...

_{, B}= ²¹

...

²ⁿ_.

...

a_m1

^am 2

...

a_mn

b_m1

^bm 2

...

b_mn

Означення. Сумою (різницею) двох матриць А і В назива-ється така матриця С розмірності m × n , елементи якої с_ij до-

рівнюють алгебраїчній сумі ( різниці ) відповідних елементів a_ij і b_ij матриць А і В , тобто

a₁₁	± b₁₁	^a12	± b₁₂	...	^a1n	± b_1n
a		± b	a		± b	...	a		± b
C = A ± B =						...		2n	²ⁿ_.
...			...			...
a_m1	± b_m1	^am 2	± b_{m 2}	...	^amn	± b_mn

Із цього означення випливають властивості:

1. A + B = B + A (комутативність);

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (асоціативність);

3. A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральність);

4. ( A ± B )^T = A^T ± B^T (транспонованість).Приклад 1.Знайти суму і різницю матриць.

A = ³	− 1 2	,	_В ₌ 2 1 − 4 _.
⁴	1 0		− 3 5 6
Розв’язування.
	3 + 2		− 1 + 1 2 + ( − 4 )	5 0 − 2	,
A + B =				=
	4 + ( − 3 ) 1 + 5	0 + 6	1 6
	3 − 2		− 1 − 1 2 − ( − 4 )	1 − 2
A − B =				=	− 4	^.
	4 − ( − 3 ) 1 − 5	0 − 6	⁷	− 6

Приклад 2.Три магазини“Продтовари”продають продуктипротягом робочого дня. Дані про торгівлю двох змін характеризу-ються таблицями:

І зміна

Вид продукції	1 магазин	2 магазин	3 магазин
Масло селянське (кг)
Ковбаса (кг)
Мінеральна вода (шт. пл. )
Горілка (шт. пл. )

ІІ зміна

Вид продукції	1 магазин	2 магазин	3 магазин
Масло селянське (кг)
Ковбаса (кг)
Мінеральна вода (шт. пл. )
Горілка (шт. пл. )

Знайти дані про сукупний одноденний продаж товару кожним магазином.

Розв’язування. Зміст цих таблиць можна записати у виглядідвох прямокутних таблиць:

А =

В =

21 25 35

23 28 34

Сума цих двох матриць характеризує дані про сукупний одно-

денний продаж кожного із видів продукції:

С = A + B =

21 25 3523

Означення. Добутком матриці A на число k (або числa k

на матрицю A ) називається матриця ,

елементами якої є до-

бутки елементів матриці A на число k :

a₁₁

^a12

...

a_1n

^ka12

...

ka_1n

A ⋅ k == k ⋅ A = k ⋅

^a21

^a22

...

^a2 n

₌ ^ka21

ka₂₂

...

^ka2 n _.

...

... ...

...

^am 2

...

ka_{m 2}

...

^am 1

^amn

^kam 1

^kamn

Із означення добутку матриці на число (або числа на матрицю) ви-пливає, що

1. k( mA ) = ( km )A;

2. ( k + m )A = A( k + m ) = kA + mA = Ak + Am;

3. λ( A + B ) =λA +λB;

4. λA = 0 , якщоλ= 0;

5. λA = 0 , якщо A = 0.

Приклад 3.Знайти матрицю4 A,якщо матриця

	− 2
		− 1
A =	− 3		.

Розв’язування. Згідно з означенням,одержимо:

4 ⋅ 3		4 ⋅ 1	4 ⋅ ( −2 )		− 8
	4 ⋅ 4		4 ⋅ 0	4 ⋅ ( −1 )		− 4
4 A =	4 ⋅ 2		⋅ ( −3 )	4 ⋅ 5	=		_.
			− 12 20
	4 ⋅ 6		4 ⋅ 2	4 ⋅ 0

Приклад 4.Обчислити матрицюC=2 A−4B,якщо

3 2
A = 5	− 1	, B =	− 2 4	_.

Розв’язування. Використавши формулу множення матриці начисло і формулу віднімання матриць, одержимо:

2 A = 10 − 2 ,

4B =

− 8 16

C = 10

− 2

−

− 8 16

= 18

− 18

− 24

8 24

Приклад 5.Підприємство виробляє три види продукціїА,В,С.Норми витрат ресурсів на одиницю продукції задані в таблиці:

Ресурси	А	В	С
Сировина X (шт.)
Сировина Y (кг)		1,5	1,4
Сировина Z (кг)			2,3

Знайти витрати ресурсів на виготовлення 6 комплектів проду-

кції.

Розв’язування. Витрати ресурсів на виробництво одиниці ви-робів можна представити у вигляді матриці:


A =	1,5	1,4	_.

	2,3

Кожен елемент матриці має певний економічний зміст. На-приклад, a₂₁ = 2 означає, що на виготовлення одиниці виду продук-

ції A витрачається 2 кг сировини Y ; елемент a₁₂ = 4 означає, що

для виготовлення одиниці виду продукції B потрібно витратити 4 шт. одиниць сировини X .

Очевидно, що для знаходження витрат на виготовлення 6 комплектів продукції, потрібно обчислити матрицю 6A , тобто


6 A = 6	1,5	1,4	=		8,4	.

	2,3			13,8

Зауваження. Множення матриці на число відрізняється відмноження визначника на число. Матрицю множать на число k , по-множивши всі її елементи на це число. Якщо визначник множать на число k , то множать на нього всі елементи одного якогось рядка (або стовпця).

Нехай матриця A містить m рядків і p стовпців, а матриця B має p рядків і n стовпців.

Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С, елементи с_ij якої дорівнюють сумі добутків елементів i-го ря-дка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B,

тобто c_ij=a_i₁b₁_j+a_i₂b₂_j+...+a_ipb_pj ( i=1,2,...,m; j=1,2,...,n ).

Добуток матриці A на матрицю B позначають АВ ( A× B ). Множення матриці A на матрицю B виконується за такою схемою:

a₁₁

^a12

...

a₁ р

. .

...

... ...

1 j

. c

2 j

і1

і2

ір

. .

...

... ...

...

. .

^am1

^am 2

...

^amp

. .

. . ^.

. .

Тут елемент c_ij знаходять як скалярний добуток елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j -го стовпця матриці B .

Добуток матриць характеризується властивостями:

1. AE = EA = A;

2. A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0;

3. AB ≠ BA (некомутативність);

4. ( AB )C = A( BC ) (асоціативність);

5. ^{( A} ⁺ ^{B )C} ⁼ ^AC ⁺ ^{BC ,} (дистрибутивність);

C( A + B ) = CA + CB

6. ( A ⋅ B )^T = B^T ⋅ A^T .

Ця властивість має місце для довільного числа множників

( A ⋅ A ...A

− 1

⋅ A )^T = A ^T ⋅ A

^T ...A ^T ⋅ A ^T .

n− 1

7. Визначник добутку двох квадратних матриць рівний добут-

ку їх визначників.

Приклад 6.Знайти добуткиABіBA,якщо

− 2

, B =

⁼

− 1

і переконатись, що AB ≠ BA .

Розв’язування.

1 − 2 2 0

1⋅ 2 + ( −2 )( −1 ) 1⋅ 0 + ( −2 )⋅ 54 − 10

AB =

⁼

3 4

− 1 5

3 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −1 )

3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 52 20

Аналогічно

1 − 22 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3

2 ⋅ ( −2 ) + 0 ⋅ 42 − 4

BA =

2 0

⁼

−1 )⋅ 1

+ 5 ⋅ 3 ( −1 )⋅ ( −2 ) +

⁼

− 1 5

3 4(

5 ⋅ 414 22

Звідси випливає, що AB ≠ BA .

Приклад 7.Знайти добутокAB,якщо

₌ 1 2 − 1 _,

− 3

− 2

B =

0 2 .

Розв’язування.

1⋅ (−3)+ 2⋅ 1+ (−1)⋅ 6 1⋅ (−2)+ 2⋅ 0 + (−1)⋅ (−4) 1⋅ 5 + 2⋅ 2 + (−1)⋅7

AB=

0⋅ (−2)+ 3

⋅ 0 + 4⋅ (−4)

0⋅ 5 + 3⋅

0⋅ (−3)+ 3⋅ 1+ 4⋅ 6

2 + 4⋅7

−7

− 16 34

(Тут добуток BA невизначений, оскільки кількість стовпців першої матриці не дорівнює кількості рядків другої матриці).

− 3

Приклад 8.Знайти добутокAE,якщоA=0

− 2

− 4

− 1

Розв’язування.

1 2 − 3

1 0 0

AE=

− 2 4

⋅ 0 1 0 =

− 1 5 − 4

0 0 1

1⋅ 1+ 2⋅ 0 + (−3)⋅ 0

1⋅ 0 + 2⋅ 1+ (−3)⋅ 0

1⋅ 0 + 2⋅ 0 + (−3)⋅ 1

= 0

⋅ 1+ (−2)⋅ 0 + 4⋅ 0

0⋅ 0 + (−2)⋅ 1+ 4⋅ 0

0⋅ 0 + (−2)⋅ 0 + 4⋅ 1

5⋅ 0 + (−4 )⋅ 0 (−1)⋅ 0 + 5⋅ 1+ (−4 )⋅ 0 (−1)⋅ 0 + 5⋅

(−1)⋅ 1+

0 + (−4 )⋅ 1

− 3

= 0

− 2

4 .

− 1

− 4

(Легко переконатись, що має місце і рівність EA=A).

Приклад 9.Знайти добутокAB,якщо

3 − 1

=− 3 .

A = ₄

− 2 1 ^{, B}

⁻

⁴

Розв’язування. Добуток цих матриць можливий,оскільки кі-лькість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B. Одержимо

−

2 ⋅ 5 + 3 ⋅ ( −3 ) + ( −1 ) ⋅ ( −4 )

− 3

AB =

− 2

⁼

⁴

− 4

4 ⋅ 5 + ( −2 )( −3 ) +

1 ⋅ ( −4 )

− 1

Приклад 10.Задано матрицюA=2

1 . Знайти А².

− 2

− 3

Розв’язування.

A² = A ⋅ A =

3 − 1 4 3 − 1 4

0 1 . 2

0 1

− 3 − 2 5 − 3

− 2 5

9 − 2 − 12

−

− 8 12

− 1

− 5

−

11 31

6 + 0 − 3

−

− 2

+ 0

− 4 13 .

− 28

− 9 − 4 − 15 3 + 0 − 10 − 12 − 2 + 25

− 7 11

Зауваження 1. Добуток двох матриць може бути нульовою ма-трицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.

Приклад 11.Знайти добуток матриць:

⁰

A⋅ B =− 3 0

⋅ 4

− 1

1 − 2 6

2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1

2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ ( −2 )

2 ⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1 )+ 0 ⋅ 6

( −3 )⋅ 0

+ 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1 ( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ ( −2 ) ( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1 ) + 0 ⋅ 6

⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1

3⋅ 0 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ ( −2 )

( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1 ) + 0 ⋅ 6

= 0

0 .

Зауваження 2 .Добуток двох діагональних матриць одного ітого ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.

Приклад 12.Знайти добуток діагональних матриць:

a₁₁
			^a22
A =
... ...

⁰
	a		b
		11 11
Тоді A ⋅ B =
	...

	...				b

	...		,	B =
	...	...		...

	...	^ann		⁰
			...
a		b		...
					_.
	...		...	...

			...	^ann^bnn

	...
b	...
			.
...	...	...

	...	^bnn

Для таких двох матриць добуток комутативний:

A ⋅ B = B ⋅ A.

Приклад 13.Торговельно-будівельна компанія уклала договірна будівництво 6 житлових будинків, 3 офісних будинків і 4 будинків відпочинку. Ціни на окремі види матеріалів такі:цегла – 32

у.о./тис. шт., цемент – 300у.о./т., ліс круглий - 44у.о./ м³ , оцинкова-

не залізо - 6 у.о./ м² , скло - 5 у.о./ м² .

Інформація про кількість матеріалів на кожний вид будівниц-тва представлена в таблиці:

Вид бу-	Цегла	Цемент	Ліс круглий	Оцинковане	Скло
дови	(тис. шт.)	(т)	(м²)	залізо (м²)	(м²)


Житловий
будинок

Офісний
будинок

Будинок
Відпочинку

Портібно знайти:

1)загальну кількість матеріалів;

2)ціну матеріалів для кожного виду будови;

3)загальну вартість матеріалів.

Розв’язування. 1)Запишемо у вигляді матриціАдані,які ха-рактеризують кількість матеріалів на кожний вид будови, а дані про ціни їх у вигляді матриці-стовпця С.




А = 84
		,С = 44	.





Позначимо дані про договір, укладений на будівництво
споруд через В = [6 3	].

Щоб знайти загальну кількість матеріалів для будівництва, потрібно перемножити матриці В і А і знайти добуток BA , тобто


BА=[6 3 4]⋅84				140 = [ 960 116 506 2580 1780 ].

Таким чином, для виконання договору на будівництво 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку компанія повинна придбати: 960 тис. шт. цегли;116 т цементу; 506 м³ круглого лісу; 2580 м² оцинко-ваного заліза і 1780 м²скла.

2) Щоб знайти загальну вартість матеріалів для кожного виду будівництва, потрібно перемножити матрицю А на матрицю-стовпець С , складену із чисел, які характеризують ціни на відповідні матеріали :

АС = 84

⋅ 32

+ 9 ⋅ 300 + 41 ⋅ 44 + 210 ⋅ 6 + 120 ⋅ 5

= 84 ⋅ 32 + 10 ⋅ 300 + 40 ⋅ 44 + 200 ⋅ 6 + 140 ⋅ 5

= 9348

⋅ 32

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Рицею-стовпцем.	\|	Обернена матриця

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.031 сек.