Менником геометричної прогресії.

Якщо q < 1 - прогресія спадна, q >1 – прогресія зростаюча.

За означенням b_n₊ ₁ = b_nq або b_n = b₁qⁿ⁻ ¹ .

Сума n членів скінченої геометричної прогресії знаходиться

за формулою		=	b ( 1 − qⁿ )
S_n				.
	− q

Сума членів нескінченої спадної геометричної прогресії зна-
ходиться за формулою:	S_n	=		b₁	.
	− q

Припустимо, що вкладник дає банку 50000 грн. з умовою що-річного зростання на 25% складних відсотків , тобто щороку вели-чина капіталу, що знаходиться на рахунку вкладника в банку по-

винна зростати на 25%.	Після 1-го року	матимемо:
50000 +		⋅ 50000 = 62500 = 50000 ( 1 +	) = 62500 .


Після другого року:
62500 +		⋅ 62500 = 62500( 1 +	) = 50000( 1 +	₎2	= 78125 .

Зрозуміло,що після т -го року матимемо 50000( 1 + ¹)^т , то-

му величина капіталу P, що зростає щороку на R складних відсотків, через n – років прийме значення: P_n = P( 1 + 0 ,01R )ⁿ .

Найпростішим типовим рахунком накопичення є такий раху-нок фізичної або юридичної особи, на який регулярно нараховується відсоткова ставка і зараховується новий вклад.

Задача.Кожного місяця працівник(студент)вносить100гри-вень на свій рахунок накопичення з одержанням прибутку величи-ною 2% щомісячно. Обчислимо величину його накопичень:

а) після здійснення24внеску; б) після здійсненняnвнеску.

Кожний внесок за місяць зростає в 1,02. Тому перший внесок за 23 місяці перебування на рахунку прийме значення 100(1,02)²³ .

Другий внесок знаходився на рахунку 23 місяці (100(1,02) ²² ) і т.д. Загальна сума накопиченого рахунку студента прийме зна-

чення:	(1	,02²³ )+ 100( 1,02 )²² + ...+ 100.
S = 100	^b1	= 100;q = 1,02 .
Отже, S =		b ( 1 − qⁿ )	=	100( 1 − ( 1,02 )²⁴	)	=	100(( 1,02 )²⁴ − 1 )	=

	1 − q	1 − 1,02		0 ,02

5000(( 1,02 )²⁴ − 1 ) = 100 ⋅ 30 ,421852 = 3042,1852.

S = P ⋅ S_n_i -формула накопичення.

◙ Розрахунки ренти

Багато людей в країнах з ринковою економікою живуть за ра-хунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну одержу-ють обумовлену суму коштів з відповідного рахунку в банку або страховій компанії. Скільки треба поставити на рахунок ренти, щоб одержувати відповідні кошти?

Нехай А – величина внеску на рентний рахунок. З цього раху-нку здійснюються виплати Р щорічно на протязі n років і величина внеску щорічно зростає на R відсотків.

A₁ -кошти,які вкладені на рахунок ренти і дадуть через одинрік виплату Р.

Отже, A₁( 1 + i ) = P ,i =	R	, A₁ = P( 1 + i )⁻ ¹ .


A₂ -кошти,які вкладені на рахунок ренти і через два роки да-
дуть виплату Р.
A₂ ( 1 + i ) = P ; A₂ = P( 1 + i )⁻² і т.д.
A	= P( 1 + i )⁻ ⁿ .
n
Таким чином на рахунок ренти треба покласти суму:
A	+ A	+ ... + A = P( 1 + i )⁻¹ + P( 1 + i )⁻²	+ ... + P( 1 + i )⁻ ⁿ .
		n

Це сума n –членів геометричної прогресії:

b₁ = P( 1 + i )⁻¹ і		q = ( 1 + i )⁻¹ .
A ≡ S =	P( 1 + i )⁻¹	( 1 − ( 1 + i )⁻ ⁿ	)	= Pa_n	; де
	− ( 1 + i )⁻ ¹
			i
			a_n = i⁻¹ ( 1 − ( 1 + i )⁻ ⁿ ).
			i

◙ Погашення боргу

Процес повернення боргу регулярно, певними частинами, в певний термін і протягом домовленого часу з виплатою певного від-сотку називається погашенням боргу.

З математичної точки зору погашення боргу – це задача про ренту.

Страхова компанія взяла в борг суму А і виплачує

борг: A = P ⋅ a_n ; P =	A	.

i	a_n
	i

Задача. На час навчання студент академії народного госпо-дарства отримав з фонду навчання в борг 17000 грн. Цей кредит йо-му надано із 8% щорічного зростання і умовою повернення (щоріч-но) в кінці кожного року після закінчення академії протягом 15 ро-ків. Скільки коштів повинен повертати студент кожного року?

A = 17000 ,	n = 15 ,	R = 8, i =	= 0 ,08,


P =	A	=		= 1986 грн.

a₁₅8,559479

0 ,08

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Ньому, збільшеному на число d, яке називається різницею прогре-	\|	Границя числової послідовності

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.