• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Обчислення об’ємів

◘ Визначення і обчислення об’єму тіл за площами паралельних перерізів

Нехай в просторі дано тіло, що знаходиться між двома пло-

x

xn-1

b

Мал. 12

щинами x = a і x = b , і відомо, що всяка площина паралельна до площини zOy

і яка знаходиться від неї на відстані x , перетинає тіло по

плоскій фігурі, площа якої є функція S( x ) (мал. 12).

Спроектуємо тіло на площи-ну xOy. Одержимо плоску

фігуру, яку знову спроектуємо на вісь Ох(а<b).

Розіб’ємо проміжок [a ,b] точками x₁, x₂,...x_{n− 1} . Через точки поділу проведемо перпендикулярні площини σ₁,σ ₂,σ ₃,...σ_{n− 1} до площини xOy і позначимо S( x₁ ), S( x₂ ),...S( x_{n− 1} ) -площі відповідних пара-лельних один одному перерізів. Побудуємо на кожному перерізі, як на основі, циліндр висотою, відповідно, x₁ , x₂ , x_i = x_i − x_{i − 1}. Таким чином одержимо n циліндрів. Запишемо суму, яка є інтегральною:

S( x₁ ) x₁ + S( x₂ ) x₂ + S( x₃ ) x₃ + ...+ S( x_n ) x_n

Перейдемо до границі при max x_i → 0. Одержимо

V = lim_→[ S( x₁ ) x₁ + S( x₂ ) x₂ + S( x₃ ) x₃ + ...+ S( x_n )

max x_i 0

n

=∑S( x_i ) x_i .

i = 1

b

x_n]=_∫S( x)dx

a

Якщо така границя існує, то кажуть, що дане тіло має об’єм.

◘ Обчислення об’єму тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція утворена лінією y = f ( x ) , прямими

х=а та х=b та віссю Ох,обертається в просторі навколо осі Ох. Знайтиоб’єм фігури обертання, яка утворилась.

Враховуючи те, що для об’єму тіла обертання площа поперечного перерізу

S( x ) =π f ² ( x ) одержимо

dd

V =_∫πϕ ² ( y )dy = _∫ϕ ² ( y )dy.

сc

Приклад 31.Знайти об’єм тілаутвореного обертанням навколо осі абсцис

фігури, обмеженої лініями y = ⁴ , х=1,х=4.x

Розв’язування.Об’єм тіла обертання

b

обчислюємо за формулою V = π_∫ y²dx .

у

1

0 ^х

1 ⁴

Мал. 13

⁴ =−16π( ¹ − 1 ) = 12π( куб.од.)

14

Читайте також:

1. Автододавання та автообчислення.
2. Алг W2 (ОБЧИСЛЕННЯ Y)
3. Аналітичні показники динаміки та прийоми їх обчислення
4. База оподаткування, ставки податку та порядок обчислення.
5. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
6. Види середніх і способи їх обчислення
7. Визначення та обчислення функції для одного значення аргументу і для діапазону значень аргументу.
8. Відносні величини: суть, види та способи їх обчислення
9. Відносні величини: суть, види та способи їх обчислення
10. Гарантійні і компенсаційні виплати в оплаті праці та порядок обчислення середнього заробітку
11. Для обчислення амортизаційних відрахувань основні засоби поділяють
12. Доходи підприємства та методика їх обчислення

Переглядів: 579