• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Розв’язання.

Виконаємо малюнок області (мал. 15).

Функція w = z³+ 1 + i є складеною функцією. Відображення за допомогою цієї функції складається з послідовних відображень степеневої функції t = z³ та лінійної w = t + 1 + i.

Із формул (1) маємо, що

Так як , то

Результат відображення функцією t = z зображений на мал. 16.

Відображення функцією w = t + 1 + і є паралельним переміщенням на вектор {11} .

Результат цього відображення зображений на мал. 17

Завдання 38.Знайти конформне відображення області на область .

Завдання 39.Круг |z| < 1 з розрізом по радіусу від точки –1 до точки 0 відобразити на область .

Завдання 40.Півкруг конформно відобразити у півплощину Im w > 0.

Завдання 41. Площину з розрізом по променю дійсної осі від точки –1 до ∞, який проходить через точку 0, конформно відобразити в круг |w| < 1.

Завдання 42. Знайти конформне відображення площини з розрізом по сегменту [-1;1] у півплощину Im w > 1.

Завдання 43. Знайти конформне відображення зовнішності дуги одиничного кола від 1 до -1, що проходить через точку i, у зовнішність круга |w| > 1.

Завдання 44. Зовнішність круга |z| > 1з розрізом по променю уявної осі від точки 1 до ∞ конформно відобразити на область |w| > 1.

Завдання 45. Область з розрізом по відрізку уявної осі від точки до точки і конформно відобразити у верхню півплощину.

§9. Відображеннязадопомогоюфункцій w = e^z та w = lnz.

Відображення за допомогою функції w = e^z конформне у всій скінченній комплексній площині, тому що похідна w' = e^z скінченна і відмінна від нуля на цій площині.

Запишемо змінну z в декартових координатах z = x + iy, a змінну w в полярних w = ρе^iφ, тоді відображення за допомогою функції w = е~ можна записати наступним чином

ρе^iφ = е^хе^iу.

Отже відображення показниковою функцією виконується за формулами:

, тобто (1)

Як видно із формул (1) областю однолистості цієї функції є смуга 0 < у < 2π (0 <Іm z < 2π).

Для відображення за допомогою логарифмічної функції змінну z запишемо в показниковій формі z = ρе^іφ а змінну w - в алгебраїчній w = u + iv. Тоді функція w = ln z запишеться наступним чином

u + iv = ln ρ + iφ.

Відображення за допомогою логарифмічної функції виконується за формулами

, або (2)

Читайте також:

1. Актуальні проблеми регіональної політики та їх розв’язання.
2. Вказівки до розв’язання.
3. Міжнаціональні відносини і причини виникнення міжнаціональних конфліктів, шляхи їх розв’язання. Міжконфесійні стосунки та їх вплив на життя в полікультурному суспільстві
4. Поняття біосфери та ноосфери. Поняття екології. Основні завдання соціальної екології. Сучасні екологічні проблеми, причини їх виникнення та розв’язання.
5. Розв’язання.
6. Розв’язання.
7. Розв’язання.
8. Розв’язання.
9. Розв’язання.
10. Розв’язання.
11. Розв’язання.
12. Розв’язання.

Переглядів: 606