МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Розв’язання.Виходячи із геометричного змісту похідної коефіцієнт розтягу k = |w'(z0)|, а кут повороту α = arg w'(z0). Знайдемо похідну функції і обчислимо її в точці z0 = 0. Так як |–2i| = 2 , a arg(–2i) = , то коефіцієнт розтягу в точці z0= 0 при відображенні функцією w(z) = дорівнює k = 2, а кут повороту а = . Завдання 23. Яка частина площини стикається при відображенні за допомогою функції w = f(z). 1) w = z3 +2. Розв’язання. Знайдемо похідну функції w = z3 + 2 та її модуль: При відображенні за допомогою функції w = f(z) стикається та частина площини, для точок якої виконується умова 0 < к < 1, або 0 < |w'| < 1. Отже 0 < 3(x2 + у2) <1, звідки маємо 0 < х2 + у2 < При відображенні за допомогою функції w = z3 + 2 стикається внутрішня частина кола з виколотою точкою z = 0. §5. Відображеннязадопомогоюлінійноїфункції. Функція виду w = az + b , де а, b - сталі комплексні числа, називається лінійною. Відображення за допомогою цієї функції конформне у всій площині (w' = а ≠ 0). Якщо z та а подати у показниковій формі z = ρеiφ, а = |а|еiα , то Із останньої рівності слідує, що відображення за допомогою лінійної функції можна розглядати як суперпозицію таких відображень: 1) t = |a|z – розтяг в |a| разів 2) ζ= tеiα – поворот на кут а проти годинникової стрілки 3) w = ζ + b – паралельне зміщення на b = β1 +iβ2. Завдання 24.Знайти образ на w-площині області при відображенні за допомогою лінійної функції w=az + b. l) –l < Re z < l Розв’язання. Знайдемо модуль і аргумент похідної : Відображення функцією є послідовним виконанням таких відображень: 1) t = 2z – розтяг в два рази; 2) – поворот на кут за годинниковою стрілкою; 3) w = – паралельне переміщення. 4) Задана область і відображення 1)-3) подані на малюнках 3-6
Завдання25. Знайти одну з лінійних функцій, яка відображає область D на z-площині в область G на w-площині: 1) D: |z – 2i| < 1, G: |w – 2| < 2. Розв’язання.Задані області зображені на малюнках 7-8. Область D можна відобразити в область G , наприклад, так: 1) t = 2z 2) 3) Отже однією з лінійних функцій; що відображає область D на G є наступна:
§6. Відображеннязадопомогоюфункції . Відображення w = конформне у всіх точках площини за виключенням z = 0 та z = ∞. При цьому функція всю розширену комплексну площину відображає у всю розширену комплексну площину (точки z = 0 та z = ∞ відображаються відповідно у точки w = ∞ і w = 0). Функція володіє круговою властивістю та властивістю збереження симетрії. Кругова властивість: коло в широкому розумінні функція відображає у коло в широкому розумінні (колом в широкому розумінні називається коло або пряма у звичайному розумінні). Властивість збереження симетрії: точки, які симетричні на z-площині відносно кола в широкому розумінні, відображаються у точки симетричні відносно образу цього кола на w-площині. Точки симетричні відносно прямої - це точки, що лежать на перпендикулярі до цієї прямої і рівновіддалені від неї. Точки M та N симетричні відносно кола з центром в т. О і радіусом R, якщо вони лежать на одному промені, початком якого є точка 0, і задовольняють рівності ОМ · ON = R2. Для здійснення відображення за допомогою функції запишемо z і w у полярних координатах z = reiφ, w = ρeiθ, тоді , звідки ; θ = -φ. Завдання 26.Виконати відображення заданої лінії або області на z-площині за допомогою функції .
Розв’язання.Виконаємо малюнок заданої області (мал. 11). Для відображення за допомогою функції скористаємося круговою властивістю цієї функції. Так як межі заданої області кола |z – і| = 1 та |z – 2i| = 2, проходять через початок координат, то вони відобразяться у прямі. Пряма виражається двома точками, тому знайдемо образи двох точок кола |z – i| = 1 та образи двох точок кола |z – 2i| = 2: Отже коло |z – і| = 1 відобразиться у пряму Im w = . Образом кола |z – 2i| = 2 є пряма Im w = . Межами образу заданої області D є дві прямі, щоб визначити, чи образ лежить між ними, чи зовні, знайдемо образ будь-якої внутрішньої точки області D. Наприклад z = 3i За властивістю конформних відображень внутрішні точки переходять у внутрішні, таким чином образом заданої області є смуга (мал. 12) Завдання 27.Відобразити за допомогою функції область Завдання 28.Смугу –1 < Re z < 1 відобразити за допомогою функції . Завдання 29.Знайти конформне відображення області у смугу 0 < Im w < 1. §7. Дробово-лінійнафункція. Функція виду w (a, b, c, d – сталі числа такі, що с ≠ 0 і ad – bc ≠ 0) називається дробово-лінійною. Дробово-лінійна функція всю розширену комплексну площину відображає у розширену комплексну площину. Для функції виконуються кругова властивість і властивість збереження симетрії наведені в §6. Існує єдине дробово-лінійне відображення, яке відображає три довільно взяті точки z-площини z1, z2, z2відповідно у три точки w-площини w1, w2, w3. Це відображення визначається рівністю яке називається ангармонійним відношенням. Завдання 30.Знайти образи області D на z-площині за допомогою функції . 1) Розв’язання. Виконаємо малюнок області D (мал. 13). Межами області є коло |z –1| = 1 та пряма Im z = 0. Обидві цілінії проходять через точку z = 2 , в якій знаменник дробу перетворюється в нуль. За круговою властивістю дробово-лінійної функції коло |z – 1| = 1 і пряма Imz = 0 відобразяться у прямі. Так як пряма визначається двома точками, образи знайдемо двох точок, що належать прямій Imz = 0 : w(0) = , w(3) = 2 Отже дійсна вісь функції відображається у дійсну вісь. Так як коло |z – l| = 1 і дійсна вісь в точці z = 0 взаємно перпендикулярні, то за властивістю збереження кутів при конформному відображенні, образ кола (пряма) в точці w(0) = буде перпендикулярний до дійсної осі. Рівняння прямої, що є образом кола |z – 1| = 1, буде Rew = . Точка z = i є внутрішньою точкою області D , тому точка є внутрішньою точкою образу області D. Отже образом області D при відображенні функцією буде область Завдання 31. Знайти конформне відображення верхньої півплощини на нижню, при якому точки 0, 1, ∞ відображаються у точки ∞, 1, 0, відповідно. Розв’язання. Для знаходження дробово-лінійного відображення, яке точки 0, 1, ∞ відображає у точки ∞, 1, 0 відповідно скористаємося ангармонійним відношенням. Замінивши різниці, в які входить нескінченно віддалена точка, одиницею, одержимо Звідки . На підставі властивості конформного відображення про збереження обходу при такому відображенні верхня півплощина відображається на нижню півплощину. Завдання 32. Знайти конформне відображення площини z самої в себе, яке точки z1, z2, z3, переводить відповідно у точки w1, w2, w3. Завдання 33. Відобразити конформно круг |z – l|<2 в круг |w – i| < 2 так, щоб точка О перейшла в центр круга. Завдання 34. Відобразити конформно півплощину Im z > 1 в круг |z – 2і| < 2так, щоб точка 2i залишилася нерухомою. Завдання 35. Знайти конформне відображення круга |z| < 2 на півплощину Im w > 0, яке точку О переводить у точку Завдання 36. Знайти умови, при яких суперпозиція двох дробово-лінійних функцій є: а) дробово-лінійною функцією; б) лінійною функцією. Дослідити чи можливі інші випадки. §8. Степеневафункціязраціональнимпоказником Запишемо функцію наступним чином і розглянемо окремо функції t = zp та w = tq. Похідна функції t = zp (де pєN) дорівнює t' = pzp-1і є скінченною, відмінною від нуля у всіх точках площини, крім z = 0 та z = ∞. Відображення цією функцією конформне всюди, крім зазначених точок. Запишемо z та t в полярних координатах z=reiφ, t = ρеiθ, тоді із співвідношення t = zp маємо Якщо область задана на z-площині через нерівності для координат r та φ, то за допомогою рівностей (1) знаходимо нерівності для змінних ρ та θ, які визначають образ області у t-площині. Розглянемо тепер функцію Як відомо, ця функція не є однозначною, вона складається з q функцій, які знаходяться за формулами (якщо t = peiθ) Кожна із вказаних функцій називається відповідною віткою степеневої функції (2). Відображення функцією виконуються за допомогою формул Це відображення площину зрозрізом 0 < θ < 2πпереводить у область кута . Функція відображає другий лист z-площини 2π < θ + 2π < 4π у кут на w-площині. Функція відображає q-тий лист z-площини у кут на w-площині. Завдання37. Виконати відображення області D на z-площині за допомогою функції w = f(z) 1) ; w = z3 + 1 + i. Читайте також:
|
||||||||
|