МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Диференціальне числення функції однієї змінної.Основні теореми про границі , , . Наслідки , . Перша важлива границя розкриває невизначеність : і . Друга важлива границя розкриває невизначеність : або і . Якщо або , то функцію – називають нескінченно малою функцією. Еквівалентні нескінченно малі функції ( , коли ): Існують односторонні границі функції: правостороння і лівостороння . Функція неперервна в точці , якщовонавизначена в ній, односторонні границі в точці існують і рівні між собою. У противному випадку точка є точкою розриву. Маємо усувний розрив, якщо функція в точці невизначена, а границя функції в точці існує. Розрив першого роду, якщо функція в точці невизначена, односторонні границі існують, але не рівні між собою. В цьому випадку стрибок функції визначається формулою . Маємо розрив другого роду, якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або дорівнює нескінченності. Правила диференціювання. Маємо функції і , t. Таблиця похідних для функцій . Для степенево-показникової функції : Для гіперболічних функцій: Похідні мають вигляд: Функція є неявно заданою, якщо рівняння неможливо розв’язати відносно функції . При знаходженні похідної такої функції необхідно рівняння про диференціювати зліва направо, враховуючи, що і . Отримане рівняння розв’язують відносно . У деяких випадках при знаходженні похідної доцільно функцію спочатку прологарифмувати, а потім знайти похідну як від неявної функції (логарифмічне диференціювання). Якщо функція параметрично задана , то похідна знаходиться за формулою . Диференціал функції знаходиться за формулою: . Враховуючи, що є функцією, то її можна диференціювати. Дістанемо і так далі: . Для знаходження другої похідної параметрично заданої функції застосовується формула: , або . Правило Лопіталя застосовують для розкриття невизначеностей. Наприклад, для і матимемо . Диференціальне числення застосовують для дослідження функцій, знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку, знаходження рівнянь дотичної та нормалі до графіка функції в заданій точці. Задача 16. Знайти область визначення D(y) функції Розв’язання: Область визначення функції складається з обмежень для кожного доданку і утворює систему нерівностей: Þ Розв’яжемо систему нерівностей методом інтервалів.
Розв’язок системи нерівностей: , тому . Задача 17.Знайти границі функції, не застосовуючи правило Лопіталя: 1) при а) , б) в) Розв’язання: а) За умовою . Значення є граничним значенням змінної. Підставимо в чисельник і знаменник дробу замість . Будемо мати для чисельника і для знаменника . Так як відношення отриманих значень є величина стала, то вона є границею: ; б) За умовою . Значення є граничним значенням змінної. Чисельник і знаменник дробу при цьому значенні дорівнюють нулю. Маємо невизначеність . Виконаємо наступні дії. Ділимо чисельник і знаменник дробу на , тобто на :
Переходимо до границі відношення часток від ділення. Матимемо Зауваження. Замість ділення можна розкласти чисельник і знаменник на множники і зробити скорочення однакових виразів. в) За умовою . Підставимо замість змінної . Маємо невизначеність . Перетворимо дріб, поділивши його чисельник і знаменник на змінну в найвищому степені знаменника, тобто на . Дістанемо: 2) Розв’язання: Коли , то чисельник і знаменник дробу при цьому значенні дорівнюють нулю. Маємо невизначеність , якій сприяє ірраціональність. Позбавимось цієї ірраціональності. Для цього помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до , тобто на , а потім чисельник і знаменник поділимо на : . 3) . Розв’язання: При чисельник і знаменник дробу дорівнюють нулю. Маємо невизначеність . Застосовуємо першу важливу границю. Оскільки то . Зауваження. При розв’язуванні можна застосовувати таблицю еквівалентності нескінченно малих функцій. 4) Розв’язання: При маємо невизначеність . Перетворимо під граничний вираз так, щоб можна було застосувати другу важливу границю. Поділимо чисельник на знаменник або виділимо в чисельнику вираз знаменника і перетворений чисельник поділимо на знаменник, щоб мати одним з доданків одиницю. Дістанемо: . Оскільки і = , то Задача 18. Дослідити на неперервність функцію, установити характер точок розриву. Зробити схематичне креслення. а) . Розв’язання: Оскільки дана функція показникова, то вона неперервна при всіх значеннях , крім . В цій точці функція невизначена, тобто має в ній розрив. З¢ясуємо характер розриву. Знайдемо односторонні границі функції в точці : Оскільки одна з границь дорівнює , то – точка розриву другого роду. Зробимо схематичне креслення
б) Розв’язання: Ця функція неперервна при всіх значеннях х, крім . В цій точці вона невизначена. Точка є точкою розриву. З¢ясуємо характер розриву. Обчислимо односторонні границі функції в точці . Оскільки границі існують, але , маємо розрив першого роду. Стрибок функції обчислюємо: . Зробимо схематичне креслення.
в) Розв’язання: Область визначення функції . На інтервалах , , функція неперервна. Розриви можуть бути лише в точках і . Обчислимо односторонні границі функції в точці : і . Оскільки то в точці задана функція неперервна. Обчислимо односторонні границі функції в точці : і . Так як , то функція в точці має розрив першого роду. Стрибок функції в точці розриву: Зробимо схематичне креслення:
Задача 19. Знайти похідні заданих функцій: а) Розв’язання: = . б) Розв’язання: . в) Розв’язання: . г) Розв’язання: Застосуємо логарифмічне диференціювання. Прологарифмуємо рівняння : або . При диференціюванні вважаємо, що : ,
Враховуючи, що , матимемо: д) Розв’язання: Функція у неявно задана. Диференціюємо рівняння, вважаючи, що .
Виконаємо необхідні перетворення і розв’яжемо рівняння відносно : ; ; Таким чином, . Задача 20. Знайти першу і другу похідні заданих функцій. а) Розв’язання: Знайдемо , а потім : ;
б) Знайти похідні параметрично заданих функцій. Застосуємо наведені вище формули. 1) Розв’язання: Знайдемо і . Матимемо . Знайдемо і . Тоді друга похідна . 2) Розв’язання: Знайдемо , . Тоді перша похідна . Знайдемо . Друга похідна функції визначається формулою . Задача 21. Знайти границю, застосувавши правило Лопіталя. Розв’язання: Маємо невизначеність вигляду . Зведемо цю невизначеність до вигляду ( приведемо до спільного знаменника), а потім застосуємо правило Лопіталя: . Задача 22.Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці перетину його з віссю абсцис та рівняння нормалі в точці перетину його з віссю ординат. Розв’язання: Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: а) з віссю : Þ ; Þ ; б) з віссю : Þ ; Þ . Знайдемо . Обчислимо похідну в точках і : , Запишемо рівняння дотичної в точці : Þ . Запишемо рівняння нормалі в точці : Þ . Задача 23. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку . Розв’язання: Функція на відрізку неперервна. Знаходимо критичні точки, які належать даному відрізку. Перша похідна , звідки . Корені цього рівняння: , , . ; ; . Знайдемо значення функції в критичних точках та і на кінцях відрізка при і : . Виберемо серед цих значень найбільше та найменше. Отже, і Задача 24.Дослідити за допомогою диференціального числення функцію та побудувати її графік. Розв’язання: 1. Область визначення функції : 2. Точки перетину графіка функції з осями координат: з віссю : Þ ; з віссю : Þ . 3. Перевіряємо виконання однієї із рівностей: якщо то функція парна, якщо то функція непарна. Жодна з рівностей не виконується, тому функція є ні парна, ні непарна. Графік функції не буде мати ніякої симетрії. 4. Знайдемо асимптоти графіка функції. Асимптоти можуть бути вертикальні і похилі. В точці функція має нескінчений розрив і . Отже – рівняння вертикальної асимптоти. Знаходимо похилі асимптоти , де і . Маємо рівняння похилої асимптоти . 5. Знайдемо екстремум функції та інтервали зростання і спадання. Перша похідна
. Знайдемо критичні точки: при Þ і , не існує при Þ , але ця точка не належить області визначення. Складемо таблицю
Знаходимо знак похідної в кожному із інтервалів і результат занесемо в таблицю. 6 Знайдемо точки перегину, інтервали опуклості та вгнутості. . Знайдемо критичні точки: при ; не існує при , але ця точка не належить області визначення. Складемо таблицю
Знаходимо знак похідної в кожному з інтервалів і результат занесемо в таблицю. Значення функції в точці перегину . Використовуючи одержані дані, будуємо графік функції.
Читайте також:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|