• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Основні теореми про границі

,

,

.

Наслідки

,

.

Перша важлива границя розкриває невизначеність : і .

Друга важлива границя розкриває невизначеність : або і .

Якщо або , то функцію – називають нескінченно малою функцією.

Еквівалентні нескінченно малі функції ( , коли ):

Існують односторонні границі функції: правостороння і лівостороння . Функція неперервна в точці , якщовонавизначена в ній, односторонні границі в точці існують і рівні між собою. У противному випадку точка є точкою розриву. Маємо усувний розрив, якщо функція в точці невизначена, а границя функції в точці існує. Розрив першого роду, якщо функція в точці невизначена, односторонні границі існують, але не рівні між собою. В цьому випадку стрибок функції визначається формулою . Маємо розрив другого роду, якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або дорівнює нескінченності.

Правила диференціювання. Маємо функції і , t.

Таблиця похідних для функцій .

Для степенево-показникової функції :

Для гіперболічних функцій:

Похідні мають вигляд:

Функція є неявно заданою, якщо рівняння неможливо розв’язати відносно функції . При знаходженні похідної такої функції необхідно рівняння про диференціювати зліва направо, враховуючи, що і . Отримане рівняння розв’язують відносно .

У деяких випадках при знаходженні похідної доцільно функцію спочатку прологарифмувати, а потім знайти похідну як від неявної функції (логарифмічне диференціювання).

Якщо функція параметрично задана , то похідна знаходиться за формулою .

Диференціал функції знаходиться за формулою: .

Враховуючи, що є функцією, то її можна диференціювати. Дістанемо і так далі: .

Для знаходження другої похідної параметрично заданої функції застосовується формула: , або .

Правило Лопіталя застосовують для розкриття невизначеностей. Наприклад, для і матимемо .

Диференціальне числення застосовують для дослідження функцій, знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку, знаходження рівнянь дотичної та нормалі до графіка функції в заданій точці.

Задача 16. Знайти область визначення D(y) функції

Розв’язання: Область визначення функції складається з обмежень для кожного доданку і утворює систему нерівностей:

Þ

Розв’язок системи нерівностей: , тому .

Задача 17.Знайти границі функції, не застосовуючи правило Лопіталя:

1) при а) , б) в)

Розв’язання:

а) За умовою . Значення є граничним значенням змінної. Підставимо в чисельник і знаменник дробу замість . Будемо мати для чисельника і для знаменника . Так як відношення отриманих значень є величина стала, то вона є границею:

;

б) За умовою . Значення є граничним значенням змінної. Чисельник і знаменник дробу при цьому значенні дорівнюють нулю. Маємо невизначеність . Виконаємо наступні дії. Ділимо чисельник і знаменник дробу на , тобто на :

Переходимо до границі відношення часток від ділення. Матимемо

Зауваження. Замість ділення можна розкласти чисельник і знаменник на множники і зробити скорочення однакових виразів.

в) За умовою . Підставимо замість змінної . Маємо невизначеність . Перетворимо дріб, поділивши його чисельник і знаменник на змінну в найвищому степені знаменника, тобто на . Дістанемо:

2)

Розв’язання: Коли , то чисельник і знаменник дробу при цьому значенні дорівнюють нулю. Маємо невизначеність , якій сприяє ірраціональність. Позбавимось цієї ірраціональності. Для цього помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до , тобто на , а потім чисельник і знаменник поділимо на :

.

3) .

Розв’язання: При чисельник і знаменник дробу дорівнюють нулю. Маємо невизначеність . Застосовуємо першу важливу границю. Оскільки то

.

Зауваження. При розв’язуванні можна застосовувати таблицю еквівалентності нескінченно малих функцій.

4)

Розв’язання: При маємо невизначеність . Перетворимо під граничний вираз так, щоб можна було застосувати другу важливу границю. Поділимо чисельник на знаменник або виділимо в чисельнику вираз знаменника і перетворений чисельник поділимо на знаменник, щоб мати одним з доданків одиницю. Дістанемо:

. Оскільки і =

, то

Задача 18. Дослідити на неперервність функцію, установити характер точок розриву. Зробити схематичне креслення.

а) .

Розв’язання: Оскільки дана функція показникова, то вона неперервна при всіх значеннях , крім . В цій точці функція невизначена, тобто має в ній розрив. З¢ясуємо характер розриву.

Знайдемо односторонні границі функції в точці :

Оскільки одна з границь дорівнює , то – точка розриву другого роду. Зробимо схематичне креслення

б)

Розв’язання: Ця функція неперервна при всіх значеннях х, крім . В цій точці вона невизначена. Точка є точкою розриву. З¢ясуємо характер розриву. Обчислимо односторонні границі функції в точці .

Оскільки границі існують, але , маємо розрив першого роду. Стрибок функції обчислюємо:

. Зробимо схематичне креслення.

в)

Розв’язання: Область визначення функції . На інтервалах , , функція неперервна. Розриви можуть бути лише в точках і . Обчислимо односторонні границі функції в точці :

і .

Оскільки то в точці задана функція неперервна. Обчислимо односторонні границі функції в точці :

і .

Так як , то функція в точці має розрив першого роду. Стрибок функції в точці розриву:

Зробимо схематичне креслення:

Задача 19. Знайти похідні заданих функцій:

а)

Розв’язання:

= .

б)

Розв’язання:

.

в)

Розв’язання:

.

г)

Розв’язання: Застосуємо логарифмічне диференціювання. Прологарифмуємо рівняння : або . При диференціюванні вважаємо, що :

,

Враховуючи, що , матимемо:

д)

Розв’язання: Функція у неявно задана. Диференціюємо рівняння, вважаючи, що .

Виконаємо необхідні перетворення і розв^’яжемо рівняння відносно :

;

;

Таким чином, .

Задача 20. Знайти першу і другу похідні заданих функцій.

а)

Розв’язання: Знайдемо , а потім :

;

б) Знайти похідні параметрично заданих функцій. Застосуємо наведені вище формули.

1)

Розв’язання: Знайдемо і . Матимемо . Знайдемо і . Тоді друга похідна

.

2)

Розв’язання: Знайдемо ,

. Тоді перша похідна . Знайдемо . Друга похідна функції визначається формулою .

Задача 21. Знайти границю, застосувавши правило Лопіталя.

Розв’язання: Маємо невизначеність вигляду . Зведемо цю невизначеність до вигляду ( приведемо до спільного знаменника), а потім застосуємо правило Лопіталя:

.

Задача 22.Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці перетину його з віссю абсцис та рівняння нормалі в точці перетину його з віссю ординат.

Розв’язання: Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:

а) з віссю : Þ ; Þ ;

б) з віссю : Þ ; Þ .

Знайдемо

. Обчислимо похідну в точках і :

,

Запишемо рівняння дотичної в точці :

Þ .

Запишемо рівняння нормалі в точці :

Þ .

Задача 23. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання: Функція на відрізку неперервна. Знаходимо критичні точки, які належать даному відрізку. Перша похідна

, звідки . Корені цього рівняння: , , . ; ; . Знайдемо значення функції в критичних точках та і на кінцях відрізка при і :

.

Виберемо серед цих значень найбільше та найменше. Отже, і

Задача 24.Дослідити за допомогою диференціального числення функцію та побудувати її графік.

Розв’язання:

1. Область визначення функції :

2. Точки перетину графіка функції з осями координат: з віссю : Þ ; з віссю : Þ .

3. Перевіряємо виконання однієї із рівностей: якщо то функція парна, якщо то функція непарна. Жодна з

рівностей не виконується, тому функція є ні парна, ні непарна. Графік функції не буде мати ніякої симетрії.

4. Знайдемо асимптоти графіка функції. Асимптоти можуть бути вертикальні і похилі.

В точці функція має нескінчений розрив

і . Отже – рівняння вертикальної асимптоти.

Знаходимо похилі асимптоти , де

і

. Маємо рівняння похилої асимптоти .

5. Знайдемо екстремум функції та інтервали зростання і спадання.

Перша похідна

. Знайдемо критичні точки: при Þ і , не існує при Þ , але ця точка не належить області визначення. Складемо таблицю

¢
	зростає	mах	спадає	зростає	еxtr немає	зростає

Знаходимо знак похідної в кожному із інтервалів і результат занесемо в таблицю.

6 Знайдемо точки перегину, інтервали опуклості та вгнутості.

. Знайдемо критичні точки: при ; не існує при , але ця точка не належить області визначення. Складемо таблицю

			перегин

Знаходимо знак похідної в кожному з інтервалів і результат занесемо в таблицю. Значення функції в точці перегину .

Використовуючи одержані дані, будуємо графік функції.

Читайте також:

1. А. Це наявність в однієї людини кількох ліній клітин з різним набором хромосом.
2. Автододавання та автообчислення.
3. Автоматизоване робоче місце (АРМ) бухгалтера: призначення, функції та його рівні
4. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
5. Адміністративна відповідальність: поняття, мета, функції, принципи та ознаки.
6. Алг W2 (ОБЧИСЛЕННЯ Y)
7. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
8. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
9. Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
10. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
11. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
12. Аналіз однієї ознаки

Переглядів: 1325