• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Гіпербола

Еліпс

Лекція 4. Криві другого порядку.

Знамениті криві – еліпс, гіпербола та парабола відомі математикам уже кілька тисячоліть. Їх відкриття приписують одному з учнів Платонівської Академії Менехму (IV ст. до н.е.). Він розглядав переріз прямого кругового конуса площинами і з’ясував, що в залежності від кута нахилу твірних конуса та розташування площини в перерізі з’являються криві з характерними геометричними властивостями. На його честь ці криві звалися тріадою Менехма. Сторіччям пізніше інший грецький математик Аполлоній присвятив цим кривим цілу монографію з восьми книг «Про конічні перерізи». Власне, саме Аполлоній дав назви «еліпс», «гіпербола» та «парабола» елементам тріади Менехма та відкрив багато залежностей, що й понині є предметом вивчення аналітичної геометрії. Проте, сучасні математики, на відміну від своїх славнозвісних попередників, озброєні потужним координатним методом. З його допомогою розглянемо основні криві другого порядку.

Розглянемо геометричне місце точок, що мають таку властивість: сума відстаней будь-якої точки від двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величиною сталою. Покажемо, що цим геометричним місцем точок є саме еліпс.

Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОХ співпала з фокальною віссю ( прямою, якій належать фокуси ), а фокуси знаходилися б симетрично відносно початку координат. Розглянемо довільну точку з координатами , яка має вказану вище геометричну властивість. Координати фокусів позначимо відповіднота . Нехай .

Означення 1. та називаються фокальними радіусами точки .

Покладемо (1)

( З очевидних геометричних міркувань випливає, що ). Отже, маємо: ,

або . Оскільки обидві частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення: . Повторне піднесення до квадрату приводить до рівності:

.

Позначимо та поділимо обидві частини останньої рівності на . Остаточно одержимо:

Рис. 1 (2)

– це і є канонічне рівняння еліпса, центр якого знаходиться в початку координат. Залишаємо читачеві можливість самостійно переконатись, що проведені вище перетворення не привносять сторонніх коренів в рівняння (1). Параметри канонічного рівняння еліпса носять цілком природні назви: – велика вісь (– велика піввісь) – мала вісь (– мала піввісь).

Означення 2. Ексцентриситетом еліпсаназивають відношення відстані між фокусами до великої осі : . Для еліпса очевидно, що .

Корисними є формули, що зв’язують параметри еліпса з його ексцентриситетом: , або .

Ексцентриситет є мірою «сплюснутості» еліпса – зокрема при одержимо , тобто рівняння (1) задає коло. Цікавим виявляється і «шлях у зустрічному напрямку» – вивести з канонічного рівняння (10) геометричну властивість (2). Дійсно, для довільної точки еліпса маємо:

,

а отже, . (3)

Цілком аналогічно можна одержати, що , (4)

звідки й випливає властивість (2). Формули (3) та (4) дають раціональні вирази для фокальних радіусів та .

Рівняння еліпса часто розглядається в параметричній формі: , де .

Знайдемо криву, точки якої мають видатну геометричну властивість – модуль різниці відстаней будь-якої точки цієї кривої від двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є сталою величиною.

З цією метою розглянемо ПДСК, початок якої знаходиться посередині відрізку, кінцями якого є фокуси, а фокальна вісь збігається з віссю ОХ. Нехай точка має координати . Координати фокусів позначимо відповідно та , а фокальні радіуси точки – та . Покладемо (5)

Припустимо спочатку, що , тоді . Отже з рівності (5) маємо: , або . Оскільки обидві

частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення:

, звідки випливає .

Позначивши остаточно одержимо: (6)

Рис. 2 – канонічне рівняння гіперболи. Йому задовольняють і точки, для яких . Початок координат є центром гіперболи, так само як і у випадку з еліпсом.

Оскільки для точок гіперболи , то при зростанні від до в першій чверті також зростає від 0 до . Неважко пересвідчитись, що , тобто гілка гіперболи нескінченно наближається знизу до прямої , але не перетинає її.

Означення 3.Прямі називаються асимптотами гіперболи.

Означення 4. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення .

Для гіперболи . Очевидні також формули зв’язку параметрів гіперболи з її ексцентриситетом:, або .

Пропонуємо переконатись самостійно, що для точок правої гілки гіперболи справедливі формули:

; , (7)

а для точок лівої гілки – ; (8)

Гіпербола, яка задається рівнянням , має за дійсну вісь відрізок на осі ОY, а за уявну – відрізок на осі ОХ. Вона називається спряженою до гіперболи (5).

Читайте також:

1. Гіпербола
2. Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат

Переглядів: 1159