• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Взаємне розташування прямої та площини.

Пряма.

Якщо зафіксувати деякий вектор , то він задає напрямок у просторі. Тим самим визначена множина прямих паралельних даному напрямку. Для визначення конкретної прямої з цієї множини, досить вказати точку на ній (див мал. 1). Щоб визначити цю пряму аналітично, тобто вказати рівняння, яке пов’язує координати довільної точки прямої , скористаємось колінеарністю векторів та (вектор називається напрямним вектором прямої) : або , де – довільне число. Таким чином одержане векторне рівняння прямої .

Ця ж рівність для кожної координати вектора дає параметричні рівняння прямої : . (1)

Рис. 1 Тут є параметром – кожна точка прямої визначена деяким його

значенням. Якщо з рівностей (1) виключити параметр , то одержимо канонічні рівняння прямої:

(2)

Розглянемо деякі частинні випадки. Припустимо, що одна з координат напрямного вектора прямої (2) рівна нулю, наприклад, . Тоді пряма, очевидно, перпендикулярна осі абсцис. Якщо ж , то пряма перпендикулярна до площини , тобто паралельна осі аплікат.

Пряму також можна задати, вказавши дві точки та на ній. Нехай – довільна точка шуканої прямої. Тоді вектор буде напрямним і можемо записати канонічні рівняння прямої, заданої двома точками: .

Пряма у просторі може також бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин:

(3)

Ці рівняння описують площини, проте дають мало уявлення про власне пряму. Щоб записати пряму, задану рівнянням (3), у канонічному вигляді, необхідно визначити напрямний вектор прямої та деяку точку на ній. Напрямний вектор, очевидно, має бути паралельним кожній з площин, а отже, перпендикулярним до нормалей та обох площин, тому Рис. 2 можна вважати, що . Для того, щоб визначити точку на прямій (3), покладемо одну із змінних, наприклад , рівною і розв’яжемо систему відносно змінних та .

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

Напрямний вектор заданої прямої визначаємо із її параметричних рівнянь: . Шукана пряма паралельна заданій, отже, вектор буде напрямним і для неї. За формулами (2) визначаємо канонічні рівняння нашої прямої: .

Приклад 2. Скласти канонічні рівняння прямої , .

Напрямний вектор шуканої прямої визначимо як векторний добуток нормалей площин: , або . Знайдемо ще точку, що належить шуканій прямій. Покладемо, наприклад, та розв’яжемо систему . Помноживши перше рівняння на та додавши до другого, знайдемо

. Отже, , і точка належить прямій. Запишемо канонічні рівняння цієї прямої: .

Зауваження. Очевидна неоднозначність канонічних рівнянь (2) – можна було використати іншу точку на прямій та взяти за напрямний будь-який вектор, колінеарний до .

Означення 1. Пучком площин, що проходять через вісь , називається вся сукупність площин, що проходять через пряму .

Зауваження. Пучок площин англійською мовою звучить як: pencil of planes або sheaf of planes.

Теорема. Нехай вісь пучка задана як лінія перетину двох непаралельних площин : та : . Тоді при довільних та , таких, що , пучок задається рівнянням:

Зауваження. Рівняння пучка у вигляді (4) описує і обидві площини та . Якщо ж покласти у рівнянні (4) , то одержимо рівняння, яке описує всі площини пучка за винятком площини .

Приклад 3. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та точку . Шукана площина належить пучку з віссю , або і описується рівнянням при деякому значенні . Щоб визначити , підставимо в це рівняння координати заданої точки : , отже . Тому шуканою є площина .

Розглянемо основні задачі про взаємне розташування прямої та площини.

1. Знайти точку перетину прямої з площиною .

Використаємо рівняння прямої у параметричній формі (1) та підставимо їх у рівняння площини. Таким чином з’ясуємо, при якому значенні параметру має місце перетин прямої з площиною. Визначивши таким чином коефіцієнт , знайдемо координати точки перетину прямої та площини.

Приклад 4. Знайти точку перетину прямої з площиною .

Підставимо параметричні рівняння прямої у рівняння площини: , звідки . Отже, – точка перетину даної прямої з площиною.

1. Знайти кут між прямою та площиною .Сформулювати умови їх паралельності та ортогональності.

Неважко зрозуміти, що або , де – це кут між нормаллю площини та напрямним вектором прямої. Тому . Пряма та площина паралельні, коли , а перпендикулярні – при , тобто .

Приклад 5. Знайти кут між прямою та площиною .

Тут – напрямний вектор прямої, а – нормаль площини. Тоді

1. Сформулювати умови належності прямої до площини .

Для того, щоб пряма лежала у площині необхідно і достатньо виконання двох умов: пряма паралельна площині і одна точка прямої належить площині. Запишемо ці умови аналітично: .

1. Сформулювати умови перетину двох непаралельних прямих та .

Переконайтесь самостійно, що умова перетину двох непаралельних прямих еквівалентна умові компланарності векторів , та , де та .

1. Записати рівняння площини, що проходить через дві задані паралельні прямі.
2. Записати рівняння площини, що проходить через дві задані прямі, що перетинаються.
3. Знайти точку симетричну заданій відносно заданої площини.

Приклад 6. Знайти точку, симетричну точці відносно площини .

Опустимо перпендикуляр із точки на площину та знайдемо точку перетину його з площиною. Точка

буде серединою відрізку , де – шукана симетрична точка. Отже, перпендикуляр має проходити через точку , а його напрямним вектором буде нормаль заданої площини. Таким чином одержимо рівняння цього перпендикуляра: . Точку знайдемо, як описано в прикладі 4: . Далі, оскільки точка – середина відрізку , то її координати є напівсумою відповідних координат точок та , звідки й знаходимо .

1. Знайти відстань між двома заданими паралельними прямими.
2. Знайти відстань до заданої прямої від точки, що не лежить на даній прямій.

Приклад 7. Знайти відстань точки від прямої .

Побудуємо площину, що проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої: , або . Відшукаємо точку перетину цієї площини із заданою прямою: . Шукана відстань дорівнює довжині відрізку : .

Читайте також:

1. Взаємне заміщення аміно- і гідроксисполук
2. Взаємне розташування прямої та площини.
3. Вибір місця розташування підприємства як проблема прийняття рішень.
4. Вигідне господарсько-географічне розташування Харкова перетворило його у XVIIІ ст. на один з найпотужніших економічних центрів Російської імперії.
5. Визначення розташування арматури і товщини захисного шару бетону
6. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
7. ГЕНПЛАНИ ОЧИСНИХ СПОРУДЖЕНЬ І СХЕМИ ВИСОТНОГО РОЗТАШУВАННЯ ОЧИСНИХ СПОРУДЖЕНЬ .
8. Двоїсті оцінки. Стійкість оптимальних планів прямої та двоїстої задач.
9. До адреноміметичних засобів непрямої дії належать ефедрин, тирамін.
10. До розташування «паспортички» в анкеті – соціально-демографічний блок є різні підходи. Припустимо її розташування і на початку і в кінці анкети.
11. Допуски розташування

Переглядів: 2032