• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Взаємне розташування прямої та площини.

Розглянемо основні задачі про взаємне розташування прямої та площини.

1. Знайти точку перетину прямої з площиною .

Використаємо рівняння прямої у параметричній формі (1) та підставимо їх у рівняння площини. Таким чином з’ясуємо, при якому значенні параметру має місце перетин прямої з площиною. Визначивши таким чином коефіцієнт , знайдемо координати точки перетину прямої та площини.

Приклад 4. Знайти точку перетину прямої з площиною .

Підставимо параметричні рівняння прямої у рівняння площини: , звідки . Отже, – точка перетину даної прямої з площиною.

1. Знайти кут між прямою та площиною .Сформулювати умови їх паралельності та ортогональності.

Неважко зрозуміти, що або , де – це кут між нормаллю площини та напрямним вектором прямої. Тому . Пряма та площина паралельні, коли , а перпендикулярні – при , тобто .

Приклад 5. Знайти кут між прямою та площиною .

Тут – напрямний вектор прямої, а – нормаль площини. Тоді

1. Сформулювати умови належності прямої до площини .

Для того, щоб пряма лежала у площині необхідно і достатньо виконання двох умов: пряма паралельна площині і одна точка прямої належить площині. Запишемо ці умови аналітично: .

1. Сформулювати умови перетину двох непаралельних прямих та .

Переконайтесь самостійно, що умова перетину двох непаралельних прямих еквівалентна умові компланарності векторів , та , де та .

1. Записати рівняння площини, що проходить через дві задані паралельні прямі.
2. Записати рівняння площини, що проходить через дві задані прямі, що перетинаються.
3. Знайти точку симетричну заданій відносно заданої площини.

Приклад 6. Знайти точку, симетричну точці відносно площини .

Опустимо перпендикуляр із точки на площину та знайдемо точку перетину його з площиною. Точка

буде серединою відрізку , де – шукана симетрична точка. Отже, перпендикуляр має проходити через точку , а його напрямним вектором буде нормаль заданої площини. Таким чином одержимо рівняння цього перпендикуляра: . Точку знайдемо, як описано в прикладі 4: . Далі, оскільки точка – середина відрізку , то її координати є напівсумою відповідних координат точок та , звідки й знаходимо .

1. Знайти відстань між двома заданими паралельними прямими.
2. Знайти відстань до заданої прямої від точки, що не лежить на даній прямій.

Приклад 7. Знайти відстань точки від прямої .

Побудуємо площину, що проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої: , або . Відшукаємо точку перетину цієї площини із заданою прямою: . Шукана відстань дорівнює довжині відрізку : .

1. Знайти найкоротшу відстань між двома мимобіжними прямими.

Приклад 9. Знайти найкоротшу відстань між двома мимобіжними прямими та .

Побудуємо площину , якій належить одна з прямих, приміром, , паралельну до іншої – . Тоді шукана відстань буде відстанню від довільної точки прямої (нам відома одна з її точок – точка ) до площини . Позначимо напрямні вектори заданих прямих відповідно та , відому точку на – . Нехай буде довільна точка на шуканій площині . Для визначення рівняння площини використаємо компланарність векторів , та : , звідки одержимо рівняння площини . Нормальне рівняння цієї площини матиме вигляд , тому .

Другий спосіб: , вектор буде ортогональним до обох прямих, тоді .

1. Записати рівняння спільного перпендикуляра двох мимобіжних прямих.

Переконайтесь, що шукана пряма є лінією перетину двох площин: перша проходить через першу пряму паралельно вектору (тут – напрямні вектори заданих прямих), а друга площина – через другу пряму паралельно вектору .

Приклад 10. Записати рівняння спільного перпендикуляру до прямих та ; обчислити відстань між прямими та знайти точки перетину з ними спільного перпендикуляру.

Пряма, що визначає спільний перпендикуляр двох мимобіжних прямих, буде лінією перетину двох площин. Кожна з них має проходити через одну із заданих прямих, перпендикулярно до іншої. Знайдемо напрямний вектор цієї прямої: . Оскільки ми плануємо визначати рівняння площин, що проходить через кожну з прямих та , запишемо рівняння цих прямих як лінію перетину площин, щоб використати потім рівняння пучка площин. Для прямої маємо: та . Для прямої відповідно та . Рівняння пучка площин з віссю буде таким: , тоді для нормалі площини з цього пучка запишемо умову ортогональності з вектором : (нагадаємо, що ця площина проходить через пряму паралельно до вектора ). Отже, знайдемо , тому шукана площина задається рівнянням . Аналогічно, пучок з віссю описується рівнянням , , , звідки , тому для другої площини маємо рівняння . Таким чином, спільний перпендикуляр до прямих та задається рівняннями , . Щоб знайти точку перетину спільного перпендикуляру з кожною з прямих , , підставимо параметричні рівняння прямих у рівняння спільного перпендикуляру. Неважко визначити, що цими точками будуть точки та . Знайдемо відстань між ними .

Читайте також:

1. Взаємне заміщення аміно- і гідроксисполук
2. Взаємне розташування прямої та площини.
3. Вибір місця розташування підприємства як проблема прийняття рішень.
4. Вигідне господарсько-географічне розташування Харкова перетворило його у XVIIІ ст. на один з найпотужніших економічних центрів Російської імперії.
5. Визначення розташування арматури і товщини захисного шару бетону
6. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
7. ГЕНПЛАНИ ОЧИСНИХ СПОРУДЖЕНЬ І СХЕМИ ВИСОТНОГО РОЗТАШУВАННЯ ОЧИСНИХ СПОРУДЖЕНЬ .
8. Двоїсті оцінки. Стійкість оптимальних планів прямої та двоїстої задач.
9. До адреноміметичних засобів непрямої дії належать ефедрин, тирамін.
10. До розташування «паспортички» в анкеті – соціально-демографічний блок є різні підходи. Припустимо її розташування і на початку і в кінці анкети.
11. Допуски розташування

Переглядів: 2675