• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лекція 4. Прямі в просторі.

Якщо зафіксувати деякий вектор , то він задає напрямок у просторі. Тим самим визначена множина прямих паралельних даному напрямку. Для визначення конкретної прямої з цієї множини, досить вказати точку на ній (див мал. 1). Щоб визначити цю пряму аналітично, тобто вказати рівняння, яке пов’язує координати довільної точки прямої , скористаємось колінеарністю векторів та (вектор називається напрямним вектором прямої) : або , де – довільне число. Таким чином одержане векторне рівняння прямої .

Ця ж рівність для кожної координати вектора дає параметричні рівняння прямої : . (1)

Рис. 1 Тут є параметром – кожна точка прямої визначена деяким його

значенням. Якщо з рівностей (1) виключити параметр , то одержимо канонічні рівняння прямої:

(2)

Розглянемо деякі частинні випадки. Припустимо, що одна з координат напрямного вектора прямої (2) рівна нулю, наприклад, . Тоді пряма, очевидно, перпендикулярна осі абсцис. Якщо ж , то пряма перпендикулярна до площини , тобто паралельна осі аплікат.

Пряму також можна задати, вказавши дві точки та на ній. Нехай – довільна точка шуканої прямої. Тоді вектор буде напрямним і можемо записати канонічні рівняння прямої, заданої двома точками: .

Пряма у просторі може також бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин:

(3)

Ці рівняння описують площини, проте дають мало уявлення про власне пряму. Щоб записати пряму, задану рівнянням (3), у канонічному вигляді, необхідно визначити напрямний вектор прямої та деяку точку на ній. Напрямний вектор, очевидно, має бути паралельним кожній з площин, а отже, перпендикулярним до нормалей та обох площин, тому Рис. 2 можна вважати, що . Для того, щоб визначити точку на прямій (3), покладемо одну із змінних, наприклад , рівною і розв’яжемо систему відносно змінних та .

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

Напрямний вектор заданої прямої визначаємо із її параметричних рівнянь: . Шукана пряма паралельна заданій, отже, вектор буде напрямним і для неї. За формулами (2) визначаємо канонічні рівняння нашої прямої: .

Приклад 2. Скласти канонічні рівняння прямої , .

Напрямний вектор шуканої прямої визначимо як векторний добуток нормалей площин: , або . Знайдемо ще точку, що належить шуканій прямій. Покладемо, наприклад, та розв’яжемо систему . Помноживши перше рівняння на та додавши до другого, знайдемо

. Отже, , і точка належить прямій. Запишемо канонічні рівняння цієї прямої: .

Зауваження. Очевидна неоднозначність канонічних рівнянь (2) – можна було використати іншу точку на прямій та взяти за напрямний будь-який вектор, колінеарний до .

Означення 1. Пучком площин, що проходять через вісь , називається вся сукупність площин, що проходять через пряму .

Зауваження. Пучок площин англійською мовою звучить як: pencil of planes або sheaf of planes.

Теорема. Нехай вісь пучка задана як лінія перетину двох непаралельних площин : та : . Тоді при довільних та , таких, що , пучок задається рівнянням:

(4)

Доведення. Покажемо, що по-перше, рівняння (4) – не тотожність. Дійсно, з припущення про те, що випливає , тобто та збігаються. По-друге, вісь належить пучку. Це видно з того, що для кожної точки прямої виконуються рівності та , а отже, виконано рівняння (4). По-третє, залишилось показати, що кожна площина , що проходить через вісь , описується рівнянням (4). Для цього розглянемо деяку точку , яка не лежить на осі . Точка та вісь повністю визначають площину . Підставимо координати точки в рівняння (4). Величини та не дорівнюють нулю водночас (адже не належить осі ), а тому визначене відношення , або . Якщо існує перше, то позначимо його через , якщо існує друге, то через . Таким чином, для довільної площини пучка можна визначити коефіцієнти та , при яких площина описується рівнянням (4).

Зауваження. Рівняння пучка у вигляді (4) описує і обидві площини та . Якщо ж покласти у рівнянні (4) , то одержимо рівняння, яке описує всі площини пучка за винятком площини .

Приклад 3. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та точку . Шукана площина належить пучку з віссю , або і описується рівнянням при деякому значенні . Щоб визначити , підставимо в це рівняння координати заданої точки : , отже . Тому шуканою є площина .

Читайте також:

1. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
2. АНАЛІЗ ПЕРСПЕКТИВНИХ НАПРЯМІВ|направлень| РОЗВИТКУ МЕТОДІВ РОЗПІЗНАВАННЯ
3. АНАЛІЗ ПЕРСПЕКТИВНИХ НАПРЯМІВ|направлень| РОЗВИТКУ МЕТОДІВ РОЗПІЗНАВАННЯ
4. Беззондові (непрямі) тести.
5. Вид заняття: лекція
6. Вид заняття: лекція
7. Вид заняття: лекція
8. Вид заняття: лекція
9. Вид заняття: лекція
10. Вироблення політичних напрямів
11. Всі функції поділяють на прямі і зворотні
12. Вступна лекція

Переглядів: 933