Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лекція 4. Прямі в просторі.

Якщо зафіксувати деякий вектор , то він задає напрямок у просторі. Тим самим визначена множина прямих паралельних даному напрямку. Для визначення конкретної прямої з цієї множини, досить вказати точку на ній (див мал. 1). Щоб визначити цю пряму аналітично, тобто вказати рівняння, яке пов’язує координати довільної точки прямої , скористаємось колінеарністю векторів та (вектор називається напрямним вектором прямої) : або , де – довільне число. Таким чином одержане векторне рівняння прямої .

Ця ж рівність для кожної координати вектора дає параметричні рівняння прямої : . (1)

Рис. 1 Тут є параметром – кожна точка прямої визначена деяким його

значенням. Якщо з рівностей (1) виключити параметр , то одержимо канонічні рівняння прямої:

(2)

Розглянемо деякі частинні випадки. Припустимо, що одна з координат напрямного вектора прямої (2) рівна нулю, наприклад, . Тоді пряма, очевидно, перпендикулярна осі абсцис. Якщо ж , то пряма перпендикулярна до площини , тобто паралельна осі аплікат.

Пряму також можна задати, вказавши дві точки та на ній. Нехай – довільна точка шуканої прямої. Тоді вектор буде напрямним і можемо записати канонічні рівняння прямої, заданої двома точками: .

Пряма у просторі може також бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин:

(3)

Ці рівняння описують площини, проте дають мало уявлення про власне пряму. Щоб записати пряму, задану рівнянням (3), у канонічному вигляді, необхідно визначити напрямний вектор прямої та деяку точку на ній. Напрямний вектор, очевидно, має бути паралельним кожній з площин, а отже, перпендикулярним до нормалей та обох площин, тому Рис. 2 можна вважати, що . Для того, щоб визначити точку на прямій (3), покладемо одну із змінних, наприклад , рівною і розв’яжемо систему відносно змінних та .

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

Напрямний вектор заданої прямої визначаємо із її параметричних рівнянь: . Шукана пряма паралельна заданій, отже, вектор буде напрямним і для неї. За формулами (2) визначаємо канонічні рівняння нашої прямої: .

Приклад 2. Скласти канонічні рівняння прямої , .

Напрямний вектор шуканої прямої визначимо як векторний добуток нормалей площин: , або . Знайдемо ще точку, що належить шуканій прямій. Покладемо, наприклад, та розв’яжемо систему . Помноживши перше рівняння на та додавши до другого, знайдемо

. Отже, , і точка належить прямій. Запишемо канонічні рівняння цієї прямої: .

Зауваження. Очевидна неоднозначність канонічних рівнянь (2) – можна було використати іншу точку на прямій та взяти за напрямний будь-який вектор, колінеарний до .

Означення 1. Пучком площин, що проходять через вісь , називається вся сукупність площин, що проходять через пряму .

Зауваження. Пучок площин англійською мовою звучить як: pencil of planes або sheaf of planes.

Теорема. Нехай вісь пучка задана як лінія перетину двох непаралельних площин : та : . Тоді при довільних та , таких, що , пучок задається рівнянням:

(4)

Доведення. Покажемо, що по-перше, рівняння (4) – не тотожність. Дійсно, з припущення про те, що випливає , тобто та збігаються. По-друге, вісь належить пучку. Це видно з того, що для кожної точки прямої виконуються рівності та , а отже, виконано рівняння (4). По-третє, залишилось показати, що кожна площина , що проходить через вісь , описується рівнянням (4). Для цього розглянемо деяку точку , яка не лежить на осі . Точка та вісь повністю визначають площину . Підставимо координати точки в рівняння (4). Величини та не дорівнюють нулю водночас (адже не належить осі ), а тому визначене відношення , або . Якщо існує перше, то позначимо його через , якщо існує друге, то через . Таким чином, для довільної площини пучка можна визначити коефіцієнти та , при яких площина описується рівнянням (4).

Зауваження. Рівняння пучка у вигляді (4) описує і обидві площини та . Якщо ж покласти у рівнянні (4) , то одержимо рівняння, яке описує всі площини пучка за винятком площини .

Приклад 3. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та точку . Шукана площина належить пучку з віссю , або і описується рівнянням при деякому значенні . Щоб визначити , підставимо в це рівняння координати заданої точки : , отже . Тому шуканою є площина .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Лекція 3. Площина в геометричному просторі.	\|	Взаємне розташування прямої та площини.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.