У багатьох випадках для об’єкту регулювання неможливо скористатися експериментальними характеристиками для рушійного моменту двигуна та моменту опору . Тоді можна отримати лінійні диференціальні рівняння об’єкту регулювання користуючись аналітичними виразами. Покажемо це на прикладі гідравлічної турбіни, схема якої зображена на рис. 3.9.
Вода з водоймища 1 через канал 2 поступає до колеса гідротурбіни 4. Кількість води регулюється направляючим апаратом 3. На валу гідротурбіни розміщений турбогенератор 5. Витік води відбувається через канал 6.
Згідно рівняння Даламбера опишемо рух ротора гідротурбіни
. (3.90)
Рушійний момент двигуна залежить від швидкості течії води у каналі, величини отвору направляючого апарату 3 і кутової швидкості обертання колеса гідротурбіни, а саме
, (3.91)
де – коефіцієнт, що залежить від конструкції гідротурбіни.
Рівняння (3.91) є нелінійним. Лінеаризацію його з допомогою розкладу в ряд Тейлора за змінними . При цьому будемо вважати, що швидкість течії води в каналі постійна, тоді
, (3.92)
де . Рівняння (3.92) запишемо у вигляді
. (3.93)
Момент опору запишемо у вигляді
, (3.94)
де – усталений момент опору на валу гідротурбіни; – момент від зміни навантаження на гідротурбіні за рахунок миттєвого підключення або відключення споживачів електроенергії. Для впевненості будемо вважати, що частина навантаження відключилася, тоді в рівняння (3.90) можна підставити залежності (3.93), (3.94)
. (3.95)
В усталеному режимі , тоді рівняння турбіни в абсолютних приростах буде
. (3.96)
Номінальними значеннями для турбіни будемо вважати наступні , і . Тоді рівняння (3.96) розділимо на і запишемо у вигляді
. (3.97)
Введемо позначення відносних приростів змінних
; ; ;
Тоді рівняння (3.97) можна записати у вигляді
, (3.98)
де – стала часу гідротурбіни.
Передатні функції за обома вхідними діями будуть рівними між собою. Зображення за Лапласом рівняння (3.98) має вигляд
, (3.99)
Передатна функція згідно (3.99) буде
. (3.100)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (3.101)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями