Обчислення об’єму тіла за відомими поперечними перерізами
Обчислення об’єму тіла
Нехай дано деяке тіло і відома площа довільного перерізу цього тіла площиною, перпендикулярною до осі (рис 8); вона є неперервною функцією від : .
Рис.8. Тіло та його поперечні перерізи
Проектуючи тіло на вісь , отримаємо відрізок . Розіб’ємо його на велику кількість малих частин () і через точки поділу проведемо площини, перпендикулярні до осі . В результаті тіло складатиметься з шарів, кожен з яких наближено можна вважати циліндром.
Оскільки об’єм -го шару наближено дорівнює , де , то, сумуючи об’єми всіх шарів, матимемо об'єм ступінчастого тіла
.
Якщо , причому , то об'єм прямує до об'єму тіла і
. (3.1)
Приклад 3.1. Обчислити об’єм еліпсоїда .
á Перетинаючи еліпсоїд площиною, паралельною до площини і розміщеною на відстані від неї, отримаємо еліпс ; або
.
Його півосі , . Площа цього еліпса (див. приклад 1.3) пропорційна добутку півосей: . Обчислимо об’єм еліпсоїда згідно з формулою (3.1):
.
Зокрема, якщо , то еліпсоїд перетворюється в кулю, об’єм якої .