Оптимізація методом класичного математичного аналізу
Лекція 4. Аналітичні методи оптимізації
Методами класичного аналізу краще вирішувати задачі оптимізації з унімодальною, безперервною цільовою функцією. Такий метод оптимізації заключається в рішенні системи диференційних рівнянь
( 4.1 )
Розв’язання системи рівнянь може дати величини x1опт, x2опт, ..., xn опт, які є оптимальними значеннями параметрів оптимізації і, які визначають оптимальне рішення задачі. При цьому, виходячи із вигляду цільової функції ( рис. 10), ще треба впевнитись, що отримані рішення є оптимальними.
Рис. 4.1 Елементи цільової функції і її похідні
Для цього необхідно вияснити деякі питання:
1. Чи дійсно рішення системи рівнянь є оптимумом, а не точкою перегину або сідловиною ?
2. Чи отриманий оптимум є максимум, коли шукалось максимальне значення і навпаки ?
3. Якщо система рівнянь має декілька рішень, то чи отриманий екстремум є глобальним ?
4. Чи всі обмеження виконуються в екстремальній точці ?
На ці запитання можна знайти відповіді продовжуючи дослідження цільової функції. Наприклад, оптимальне значення слід перевірити розкладом функції в ряд Тейлора, щоб підтвердити, що воно не відповідає точці перегину. Максимум або мінімум цільової функції визначається знаком другої похідної функції, а точка перегину нульовим її значенням (див. рис. 4.1).
Розглянемо деякі типові задачі оптимізації методом класичного математичного аналізу, які можуть знайти своє використання в харчовій технології.