МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||||||||||
Ймовірність появи хоча б однієї подіїЛекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій ОзначенняПротилежними називаються події А і ( не А), які утворюють повну групу (рис. 2).
Рис. 1
Рисунок 2 Прикладом А і є поява аверса і реверса при киданні монети. ОзначенняДобутком подій А і В називається подія А·В, яка полягає в одночасній появі А і В (рис.3).
Рисунок 3 ОзначенняСумою подій А і В називається подія А + В , яка полягає в появі А або В ( або АВ ) (рис.4).
Рисунок 4 Аналогічно визначаються добуток і сума більшого числа подій. Теорема 1 Імовірність суми сумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку Р ( А + В) = Р (А) + Р (В ) - Р ( А·В)
Теорема 2Якщо А і В несумісні, то А·В =V, Р (А·В) = 0 і тоді ймовірність суми несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій Р ( А + В ) = Р (А ) + Р ( В ). Останнє співвідношення можна використати як означення несумісних подій.
Н а с л і д о к 1. Якщо події А1, А2, . . . Аn попарно несумісні, то Р (А1 + А2 + . . .+ Аn ) = Р (А1) + Р ( А2) + . . . + Р ( Аn) (треття аксіома А. Колмогорова).
Н а с л і д о к 2. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці: Р ( А1 ) + Р ( А2 ) + . . . +Р (Аn) = 1
Н а с л і д о к. 3. Сума ймовірностей взаємо протилежних подій дорівнює одиниці: Р ( А ) + Р () = 1.
Так, якщо ймовірність влучення в ціль Р (А) = 0,8, то ймовірність промаху q = 1 – Р ( А) = 0,2. Події А і В можуть бути залежнимий незалежними. У першому випадку поява А впливає, а в другому не впливає на ймовірність появи В.
Приклад У ящику чотири білих і три чорних кулі. В результаті першого випробування ( вилучення кулі з ящика) з’явилася чорна куля ( подія А). Знайти ймовірність появи білої кулі ( подія В) в другому випробуванні, якщо: а) кулю повертають в ящик, в) кулю не повертають після першого випробування. Розв’язування. Маємо а) Р(В) = 4 / 7 – незалежна подія; в) Р ( В/А ) = 4 / 6 = 2 / 3 – залежна подія.
ОзначенняУмовною ймовірністю Р (В/А ) називається ймовірність події В за умови, що подія А відбулась.
Теорема 3 Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої Р ( А·В ) = Р (А)· Р (В/А) = Р (В)· Р ( А /В ). Н а с л і д о к. Р (В / А ) = Р ( А·В) / Р ( А ).
Теорема 4Ймовірність добутку незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій Р ( А·В ) = Р (А )· Р ( В ). Ця теорема випливає з попередньої. Крім того, можна довести, що коли А і В незалежні, то незалежні також А і , і В, і .
Нехай події А1, А2, ... ,Аn незалежні в сукупності, причому Р(А1)= р1, Р(А2)= р2,..., Р(Аn)= рn ; нехай внаслідок випробування можуть наступити всі події, або частина з них, або жодна з них. Ймовірність настання події А, що полягає в появі хоч би однієї з подій А1, А2, ... ,Аn , незалежних в сукупності, рівна різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій ..., : Р(А) =1 - q1q2…qn, де q1 = 1-р1; q2 = 1-р2; qn = 1- рn. Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну р, тоді ймовірність появи хоч би однієї з цих подій Р(А) =1 – qn , де q = 1 ─ р.
Приклад У електричний ланцюг послідовно ввімкнені 3 елементи, що працюють незалежно один від іншого. Ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні р1 = 0,1; р2 = 0,15; р3 = 0,2. Знайти ймовірність того, що струму в ланцюгу не буде. Розв’язування. Оскільки елементи ввімкнені послідовно, то струму в ланцюгу не буде (подія А), якщо відмовить хоча б один з елементів. Шукана ймовірність Р(А) = 1─ q1q2q3 = 1─ ( 1─ 0,1)(1─ 0,15)(1 ─ 0,2) = 0,388.
Приклад Ймовірність хоч би одного попадання стрільцем в мішень при трьох пострілах дорівнює 0,875 . Знайти ймовірність попадання при одному пострілі. Розв’язування. Ймовірність попадання в мішень хоч би при одному з трьох пострілів (подія А) дорівнює Р(А) = 1-q3 , де q – ймовірність промаху. По умові Р(А) = 0,875. Отже, 0,875= 1-q3 , або q3 =1 - 0,875 = 0,125. Звідси Шукана ймовірність p = 1 – q = 1 – 0,5 = 0,5. Читайте також:
|
||||||||||||||||
|