• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Ймовірність появи хоча б однієї події

Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій

ОзначенняПротилежними називаються події А і ( не А), які утворюють повну групу (рис. 2).

Рис. 1

Рисунок 2

Прикладом А і є поява аверса і реверса при киданні монети.

ОзначенняДобутком подій А і В називається подія А·В, яка полягає в одночасній появі А і В (рис.3).

Рисунок 3

ОзначенняСумою подій А і В називається подія А + В , яка полягає в появі А або В ( або АВ ) (рис.4).

Рисунок 4

Аналогічно визначаються добуток і сума більшого числа подій.

Теорема 1 Імовірність суми сумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку

Р ( А + В) = Р (А) + Р (В ) - Р ( А·В)

Теорема 2Якщо А і В несумісні, то А·В =V, Р (А·В) = 0 і тоді ймовірність суми несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Р ( А + В ) = Р (А ) + Р ( В ).

Останнє співвідношення можна використати як означення несумісних подій.

Н а с л і д о к 1. Якщо події А_1, А_2, . . . А_n попарно несумісні, то

Р (А₁ + А₂ + . . .+ А_n ) = Р (А₁) + Р ( А₂) + . . . + Р ( А_n)

(треття аксіома А. Колмогорова).

Н а с л і д о к 2. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р ( А₁ ) + Р ( А₂ ) + . . . +Р (А_n) = 1

Н а с л і д о к. 3. Сума ймовірностей взаємо протилежних подій дорівнює одиниці:

Р ( А ) + Р () = 1.

Так, якщо ймовірність влучення в ціль Р (А) = 0,8, то ймовірність промаху q = 1 – Р ( А) = 0,2.

Події А і В можуть бути залежнимий незалежними. У першому випадку поява А впливає, а в другому не впливає на ймовірність появи В.

Приклад

У ящику чотири білих і три чорних кулі. В результаті першого випробування ( вилучення кулі з ящика) з’явилася чорна куля ( подія А). Знайти ймовірність появи білої кулі ( подія В) в другому випробуванні, якщо: а) кулю повертають в ящик, в) кулю не повертають після першого випробування.

Розв’язування. Маємо а) Р(В) = 4 / 7 – незалежна подія;

в) Р ( В/А ) = 4 / 6 = 2 / 3 – залежна подія.

ОзначенняУмовною ймовірністю Р (В/А ) називається ймовірність події В за умови, що подія А відбулась.

Теорема 3 Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої

Р ( А·В ) = Р (А)· Р (В/А) = Р (В)· Р ( А /В ).

Н а с л і д о к. Р (В / А ) = Р ( А·В) / Р ( А ).

Теорема 4Ймовірність добутку незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Р ( А·В ) = Р (А )· Р ( В ).

Ця теорема випливає з попередньої. Крім того, можна довести, що коли А і В незалежні, то незалежні також А і , і В, і .

Нехай події А₁, А₂, ... ,А_n незалежні в сукупності, причому Р(А₁)= р₁,

Р(А₂)= р₂,..., Р(А_n)= р_n ; нехай внаслідок випробування можуть наступити всі події, або частина з них, або жодна з них.

Ймовірність настання події А, що полягає в появі хоч би однієї з подій А₁, А₂, ... ,А_n , незалежних в сукупності, рівна різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій ..., :

Р(А) =1 - q₁q₂…q_n, де q₁ = 1-р₁; q₂ = 1-р₂; q_n = 1- р_n.

Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну р, тоді ймовірність появи хоч би однієї з цих подій

Р(А) =1 – qⁿ , де q = 1 ─ р.

Приклад

У електричний ланцюг послідовно ввімкнені 3 елементи, що працюють незалежно один від іншого. Ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні р₁ = 0,1; р₂ = 0,15; р₃ = 0,2. Знайти ймовірність того, що струму в ланцюгу не буде.

Розв’язування. Оскільки елементи ввімкнені послідовно, то струму в ланцюгу не буде (подія А), якщо відмовить хоча б один з елементів.

Шукана ймовірність

Р(А) = 1─ q₁q₂q₃ = 1─ ( 1─ 0,1)(1─ 0,15)(1 ─ 0,2) = 0,388.

Приклад

Ймовірність хоч би одного попадання стрільцем в мішень при трьох пострілах дорівнює 0,875 . Знайти ймовірність попадання при одному пострілі.

Розв’язування. Ймовірність попадання в мішень хоч би при одному з трьох пострілів (подія А) дорівнює Р(А) = 1-q³ , де q – ймовірність промаху.

По умові Р(А) = 0,875. Отже, 0,875= 1-q³ , або q³ =1 - 0,875 = 0,125.

Звідси

Шукана ймовірність p = 1 – q = 1 – 0,5 = 0,5.

Читайте також:

1. V. НАЙБІЛЬШ ВАЖЛИВІ ПОДІЇ І ДАТИ
2. А. Це наявність в однієї людини кількох ліній клітин з різним набором хромосом.
3. Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
4. Аналіз однієї ознаки
5. Безумовною є інформація про події, що реально відбуваються у матеріальному світі.
6. Визначте причини появи українського козацтва.
7. Визначте причини появи українського козацтва.
8. Виклик однієї форми з іншої
9. Виявлення, фіксація, вилучення речових доказів із місця події.
10. Відповідно до ст. 69 ЦПК перебіг процесуального строку починається з наступного дня після відповідної календарної дати або настання події, з якою пов'язано його початок.
11. Воєнно-політичні події 1649 – 1653 рр. Утворення Української гетьманської держави.
12. Вплив лютневої революції в Росії на події в Україні.

Переглядів: 5129