Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Ймовірність появи хоча б однієї події

Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій

ОзначенняПротилежними називаються події А і ( не А), які утворюють повну групу (рис. 2).

       

А

 


 

 

Рис. 1

 

Рисунок 2

Прикладом А і є поява аверса і реверса при киданні монети.

ОзначенняДобутком подій А і В називається подія А·В, яка полягає в одночасній появі А і В (рис.3).

 

  А·В
  А  
  В

 

 


Рисунок 3

ОзначенняСумою подій А і В називається подія А + В , яка полягає в появі А або В ( або АВ ) (рис.4).

    А В А + В


 
   

 

 

Рисунок 4

Аналогічно визначаються добуток і сума більшого числа подій.

Теорема 1 Імовірність суми сумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку

Р ( А + В) = Р (А) + Р (В ) - Р ( А·В)

 

Теорема 2Якщо А і В несумісні, то А·В =V, Р (А·В) = 0 і тоді ймовірність суми несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Р ( А + В ) = Р (А ) + Р ( В ).

Останнє співвідношення можна використати як означення несумісних подій.

 

Н а с л і д о к 1. Якщо події А1, А2, . . . Аn попарно несумісні, то

Р (А1 + А2 + . . .+ Аn ) = Р (А1) + Р ( А2) + . . . + Р ( Аn)

(треття аксіома А. Колмогорова).

 

Н а с л і д о к 2. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р ( А1 ) + Р ( А2 ) + . . . +Р (Аn) = 1

 

Н а с л і д о к. 3. Сума ймовірностей взаємо протилежних подій дорівнює одиниці:

Р ( А ) + Р () = 1.

 

Так, якщо ймовірність влучення в ціль Р (А) = 0,8, то ймовірність промаху q = 1 – Р ( А) = 0,2.

Події А і В можуть бути залежнимий незалежними. У першому випадку поява А впливає, а в другому не впливає на ймовірність появи В.

 

Приклад

У ящику чотири білих і три чорних кулі. В результаті першого випробування ( вилучення кулі з ящика) з’явилася чорна куля ( подія А). Знайти ймовірність появи білої кулі ( подія В) в другому випробуванні, якщо: а) кулю повертають в ящик, в) кулю не повертають після першого випробування.

Розв’язування. Маємо а) Р(В) = 4 / 7 – незалежна подія;

в) Р ( В/А ) = 4 / 6 = 2 / 3 – залежна подія.

 

ОзначенняУмовною ймовірністю Р (В/А ) називається ймовірність події В за умови, що подія А відбулась.

 

Теорема 3 Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої

Р ( А·В ) = Р (А)· Р (В/А) = Р (В)· Р ( А /В ).

Н а с л і д о к. Р (В / А ) = Р ( А·В) / Р ( А ).

 

Теорема 4Ймовірність добутку незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Р ( А·В ) = Р (А )· Р ( В ).

Ця теорема випливає з попередньої. Крім того, можна довести, що коли А і В незалежні, то незалежні також А і , і В, і .

 

Нехай події А1, А2, ... ,Аn незалежні в сукупності, причому Р(А1)= р1,

Р(А2)= р2,..., Р(Аn)= рn ; нехай внаслідок випробування можуть наступити всі події, або частина з них, або жодна з них.

Ймовірність настання події А, що полягає в появі хоч би однієї з подій А1, А2, ... ,Аn , незалежних в сукупності, рівна різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій ..., :

Р(А) =1 - q1q2…qn, де q1 = 1-р1; q2 = 1-р2; qn = 1- рn.

Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну р, тоді ймовірність появи хоч би однієї з цих подій

Р(А) =1 – qn , де q = 1 ─ р.

 

Приклад

У електричний ланцюг послідовно ввімкнені 3 елементи, що працюють незалежно один від іншого. Ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні р1 = 0,1; р2 = 0,15; р3 = 0,2. Знайти ймовірність того, що струму в ланцюгу не буде.

Розв’язування. Оскільки елементи ввімкнені послідовно, то струму в ланцюгу не буде (подія А), якщо відмовить хоча б один з елементів.

Шукана ймовірність

Р(А) = 1─ q1q2q3 = 1─ ( 1─ 0,1)(1─ 0,15)(1 ─ 0,2) = 0,388.

 

Приклад

Ймовірність хоч би одного попадання стрільцем в мішень при трьох пострілах дорівнює 0,875 . Знайти ймовірність попадання при одному пострілі.

Розв’язування. Ймовірність попадання в мішень хоч би при одному з трьох пострілів (подія А) дорівнює Р(А) = 1-q3 , де q – ймовірність промаху.

По умові Р(А) = 0,875. Отже, 0,875= 1-q3 , або q3 =1 - 0,875 = 0,125.

Звідси

Шукана ймовірність p = 1 – q = 1 – 0,5 = 0,5.


Читайте також:

  1. V. НАЙБІЛЬШ ВАЖЛИВІ ПОДІЇ І ДАТИ
  2. А. Це наявність в однієї людини кількох ліній клітин з різним набором хромосом.
  3. Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
  4. Аналіз однієї ознаки
  5. Безумовною є інформація про події, що реально відбуваються у матеріальному світі.
  6. Визначте причини появи українського козацтва.
  7. Визначте причини появи українського козацтва.
  8. Виклик однієї форми з іншої
  9. Виявлення, фіксація, вилучення речових доказів із місця події.
  10. Відповідно до ст. 69 ЦПК перебіг процесуального строку починається з наступного дня після відповідної календарної дати або настання події, з якою пов'язано його початок.
  11. Воєнно-політичні події 1649 – 1653 рр. Утворення Української гетьманської держави.
  12. Вплив лютневої революції в Росії на події в Україні.




Переглядів: 5063

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Домашнє завдання | Лекція 3 Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.028 сек.