• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Домашнє завдання

Лекція 1 Вступ. Поняття про теорію ймовірностей. Зміст і завдання предмету. Основні поняття теорії ймовірностей. Класичне, статистичне та геометричне означення ймовірності

Події в навколишньому світі можна поділити на вірогідні, неможливі та випадкові. Перші при реалізації певного комплексу умов (при випробуванні) відбуваються завжди, другі –ніколи, треті – можуть як відбуватися, так і не відбуватися. Віднесення певної події до тієї або іншої групи істотно залежить від умов випробування. Наприклад, розглянемо подію, зв’язану з попаданням у мішень. Для цього треба, щоб хтось стріляв, щоб була мішень, щоб був засіб реалізації попадання , щоб цей засіб був доступний (справжній), щоб була забезпечена певна відстань до мішені і т.д. Якщо якась з умов не виконана, то подія буде неможливою; якщо будуть виконані всі необхідні і достатні умови, то подія буде достовірною (скажімо пістолет упирається в мішень).

Основним тут є поняття випробування. Під випробуванням розуміємо забезпечення всіх необхідних умов для появи даної події. Події позначають літерами латинської абетки А, В, С, ....

Випадкові події займають проміжну позицію між “ завжди” і “ ніколи”. І можуть наставати чи не наставати в даному випробуванні, в якому виконані всі необхідні умови появи їх. Стосовно достатніх умов зазначимо, що вони не завжди підконтрольні, а про деякі з них важко здогадатися. Так, ми не контролюємо пориву вітру чи спалаху блискавки, які могли спричинити наш промах по мішені. У такій ситуації не можна обмежитися одиничними випробуваннями, а треба мати якомога більшу їх кількість і аналізувати всю множину отриманих результатів. Ця множина є більш стійкою, оскільки одна частина попадань відхиляється в один бік, а друга в другий, і ці випадкові відхилення взаємно компенсуються, відкриваючи шлях до закономірності.

Ось чому теорія ймовірності як наука про числову міру випадковості подій передбачає вивчення не одиничних, а масових однорідних випадкових подій, які підпорядковуються стохастичним ( від грець. “стохастіс” – здогадка ) закономірностям, встановлення яких і є її основною задачею.

Виникнення теорії ймовірностей , обумовлене спробою побудувати теорію азартних ігор, відноситься до ХVІ-ХVІІ ст.. і зв’язане з іменами таких учених, як Дж. Кардано, Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, П. Ферма. Найістотнішим досягненням її першого періоду є відкриття Д. Бернуллі закону великих чисел. Другий період розвитку теорії ймовірностей зв’язаний з іменами Лапласа, Пуассона, К. Гаусса, Буняковського ( ХVІІ-ХІХ ст.). Як наука теорія ймовірностей сформувалась на межі ХІХ – ХХ ст.. завдяки зусиллям П.Л.Чебишева, О.М.Ляпунова, О.О.Маркова, Р. Мізеса. Проте в 30-х роках нашого століття вона стала повноцінним розділом математики ( до цього вважалась прикладною дисципліною) завдяки чіткому поняттю ймовірності, даному .М.Колмогоровим.

Подамо кілька означень.

Випадкові події поділяються на сумісні й несумісні . У першому випадку поява однієї події не виключає, а в другому виключає появу другої події. Наприклад, осічка і непопадання в ціль – сумісні, осічка і попадання в ціль – несумісні події.

Кілька подій утворюють повну групу, якщо поява хоч однієї з них – вірогідна подія. Наприклад, поява аверса і реверса при киданні монети, поява числа очок від одиниці до шести при киданні гральної кості, попадання і промах.

Кілька подій називають рівноможливими, якщо при випробуванні вони з’являються однаково часто. Так, аверс і реверс- рівноможливі, але попадання і промах, як правило, - ні.

Деякі події наступають досить часто, а деякі – навпаки, дуже рідко. Введемо числову характеристику показника настання події.

ОзначенняЙмовірністю Рданої події А називається відношення числа результатів випробувань m, які сприяють появі даної події, до загального числа n рівноможливих і єдино можливих результатів випробувань, які утворюють повну групу, тобто

Р (А) = m / n (1.1)

Наведене означення називається класичним.

З означення випливають властивості ймовірності: для вірогідних подій Р = 1

( m = n ), для неможливих Р = 0 ( m = 0), для випадкових 0 < P < 1 (0 < m < n).

Приклад

У групі з 25 студентів п’ять дівчат. Знайти ймовірність того, що з цієї групи першою до аудиторії зайде дівчина.

Розв’язування. Маємо Р (А) = 5 / 25 = 0,2

Приклад

Знайти ймовірність того , що при киданні гральної кості випаде грань з парною кількістю очок .

Розв’язування. Маємо n = 6, m = 3. Отже, Р (А) = 0,5.

Класичне означення ймовірності, з одного боку, просте, наочне, конструктивне, а з другого боку, воно має ряд суттєвих недоліків, а саме: не завжди можна подати результат випробувань як сукупність рівно можливих результатів; m і n скінченні, але це не завжди так; рівноможливість і рівноймовірність –синоніми. Отже , формула (1.1) не є коректним означенням. Геометричне означення ймовірності з’явилося завдяки спробі відмовитися від скінченності величин m і n. Воно полягає в тому, що

де mes g і mes G - міри ( довжини, площі, об’єми) простору всіх (G) результатів і сприятливих (g) результатів.

Приклад

Два студенти домовилися зустрітися в певному місці між 15-ю та

16-ю год. Перший, хто прийде, чекає на другого не більше 20 хв. Яка ймовірність їхньої зустрічі?

Розв’язування. Нехай х – час приходу першого, а у – другого студента. Тоді mes G = 1 - площа квадрата зі стороною, яка дорівнює одиниці (рис. 1). Умова зустрічі має вигляд ½у - х½£ , тобто звідки маємо

mes g = 5/9. Отже, Р (А) = 5 / 9.

у 16

q

15 16 x

Рисунок 1

Наведемо статистичне означення ймовірності: основним поняттям тут є відносна частота появи подій в результаті проведених випробувань

де n – число проведених випробувань, а m – число випробувань, в яких відбувалася подія А.

Ймовірність – це теоретична величина, обчислена до чи без проведення випробувань, відносна частота – величина емпірична, обчислена за результатами випробувань.

Визначення величини W (А) для різних подій показало, що в одних випадках вона для різних серій випробувань змінюється мало, а в других – істотно.

Якщо W (A) ≈ C, то подію А називають статистично стійкою, в решті випадків – нестійкою. У подальшому останні ситуації не розглядатимемо (це, як правило, ситуації, обумовлені “людським фактором”).

Переважна більшість помилок, зв’язаних із застосуванням теорії ймовірностей, пояснюється її спробами аналізувати невизначені події, які дістаємо у випробуваннях з великим числом неконтрольованих умов (про яку ймовірність виграшу команди можна вести мову, якщо тренери заздалегідь домовилися про нічию). Через це в означенні випадкової події обов’язково слід передбачити її статистичну стійкість.

ОзначенняСтатистичною ймовірністю події А називається число, навколо якого групуються відносні частоти цієї події або сама частота.

Р.Мізес встановив, що для випадкових подій

(для невизначених подій така границя не існує).

У 1900 р. відбувся Другий всесвітній математичний конгрес, на якому Д.Гільберт висунув 23 найважливіші проблеми. Шоста проблема Гільберта – побудова логічних несуперечливих основ теорії ймовірностей. Цю проблему було розв’язано через 33 роки О.Колмогоровим, який запропонував таку систему аксіом, яка дає означення ймовірностей:

1) кожній випадковій події А відповідає невід’ємне число Р (А), яке називається ймовірністю цієї події,

2) для вірогідної події U Р (U)=1,

3) ймовірність появи хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює

сумі ймовірностей цих подій.

1.1 Скільки різних двозначних чисел можна утворити із цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7?

1.2 У групі із 25 осіб потрібно обрати 5 осіб на 5 різних посад. Скількома способами це можна зробити?

1.3 Скільки різних перестановок можна утворити із букв слова "фізика"?

1.4 На карточках написані букви "а", "в", "м", "к" , "о", "с". Карточки розкладають в ряд. Яка ймовірність отримати слово "Москва"?

1.5 У групі із 25 учнів розігрують 4 різні путівки. Яка ймовірність того, що всі путівки отримають деякі з 20 учнів, що подали заяви раніше?

1.6 У групі 20 юнаків і 10 дівчат. На зліт студентів обирають 8 учасників. Яка ймовірність обрати 5 юнаків і 3 дівчат?

1.7 Підкидають 2 гральні кубика. Знайти ймовірність того, що сума чисел буде більша, ніж добуток.

1.8 Із куль, занумерованих усіма двозначними числами, вибирається одна. Яка ймовірність того, що її номер не містить 0?

1.9 Навмання взято два додатних числа, кожне з яких не перевищує 1. Знайти ймовірність того, що їх сума не перевищує 1, а добуток не перевищує 2/9.

1.10 В середину круга радіуса 10навмання кидають точку. Знайти ймовірність того, що точка попаде в середину вписаного в круг правильного трикутника.

Читайте також:

1. V. Завдання.
2. VІ. Підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
3. Адаптація персоналу: цілі та завдання. Введення у посаду
4. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
5. АКТУАЛЬНI ПРОБЛЕМИ І ЗАВДАННЯ КУРСУ РОЗМIЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ УКРАЇНИ
6. Актуальність і завдання курсу безпека життєдіяльності. 1.1. Проблема безпеки людини в сучасних умовах.
7. Аналіз руху грошових коштів у контексті нової фінансової звітності Важливим завданням аналізу фінансового стану підприємства є оцінка руху грошових коштів підприємства.
8. Аудит, його мета та завдання
9. Багатокритеріальні завдання оптимального керування
10. Багатокритерійні завдання і можливі шляхи їхнього рішення.
11. Безпека життєдіяльності людини – найважливіше завдання людської цивілізації
12. Бухгалтерська звітність, її значення, завдання і вимоги

Переглядів: 1071