Вибір кращих альтернатив за допомогою бінарних відношень

Основне завдання децидента в процесі прийняття рішення – виділити одну чи кілька найкращих альтернатив. Якщо наше завдання – отримати максимальний дохід, то найкращій альтернативі відповідає поняття максимуму за певним відношенням переваги Р чи побудова множини «найкращих», але непорівняльних між собою альтернатив.

Тоді найдоцільніше використати поняття мажоранти; у разі ж, наприклад, мінімізації збитків, більше підходять поняття мінімуму та міноранти.

Інтуїтивно зрозуміло, що між цими поняттями мають існувати певні взаємні зв’язки. Це справді так, і ці зв’язки відображають наступні твердження.

Позначимо множину максимумів множини А за відношенням Р як A⁺(Р), мажорант – A₊(Р), мінімумів – А^–(Р), мінорант – А_–(Р):

Між ними існують залежності, сформульовані в таких твердженнях.

ТВЕРДЖЕННЯ 2.23. Для максимумів, мінімумів, мажорант і мінорант множини A за відношенням Р виконуються співвідношення

Доведення. Нехай , тобто для всіх уÎА виконується співвідношення хРу, або уР^–1х. За означенням мінімуму , тобто . Нехай тепер . Це означає, що для всіх уÎА виконується співвідношення уР^–1х, або хРу, тобто . Зіставивши отримані включення, одержимо . Інші співвідношення доводяться аналогічно.¨

ТВЕРДЖЕННЯ 2.24. Для максимумів, мінімумів, мажорант і мінорант множини A за відношенням Р виконуються співвідношення , , де Р^d – двоїсте до Р відношення.

Доведення. Нехай , тобто для всіх уÎА виконується співвідношення хРу, або уР^–1х, тому не виконується yP^dx. За означенням мажоранти , тобто . Нехай тепер . Це означає, що для всіх уÎА виконується співвідношення yP^dx. Оскільки (P^d)^d = Р, то для всіх уÎА виконується хРу, і за означенням максимуму , тобто . Зіставивши отримані включення, одержимо .

Аналогічно доводиться співвідношення .

Приклад 2.36. Відношення Р задано матрицею. Його граф подано на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Граф відношення P

Відношення Р не має максимумів, мажорант, мінімумів і мінорант.

Розглянемо відношення R. Його граф подано на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Граф відношення R

x₁ – максимум, x₃, x₄ – міноранти. Мажорант та мінімумів відношення R не має.

Відношення Q задано матрицею. Його граф подано на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Граф відношення Q

x₁, x₂ – мажоранти, x₃, x₄ – мінімуми. Мінорант і максимумів відношення Q не має.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Відношення домінування та байдужості	\|	Функція вибору

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.