• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Властивості операцій над множинами.

ПРИКЛАД.

Діаграми Венна

Діаграма Венна - дуже зручний інструмент що дозволяє зображувати множиниі й ілюструвати операції над ними. Множини в Діаграмах Венна зображуються внутрішніми частинами кіл, їхніми перетинаннями, об'єднаннями й т.д. Прямокутник зображує універсальну множину

Використовуючи діаграми Венна, можна показати рівність двох множин.

Приклад

Покажемо, що (AÈB)' = А'ÇВ'. Множина (AÈB)' - доповнення множини AÈB, представлено діаграмою Венна на мал. 2.4, тому її зображує зафарбована область, показана на мал. 2.8

Множині А' відповідає зафарбована область на мал. 2.9. А множині В' - зафарбована область на мал. 2.10.

Множині А'ÇВ' відповідають частини, зафарбовані на обох попередніх діаграмах, тому на мал. 2.11 вона зображена більш темною областю

Одержали, що й (AÈB)' і А'ÇВ' однаково зображуються на діаграмі Венна, тому (AÈB)'= А'ÇВ'

Покажіть, що АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС) Множину А представлено зафарбованою областю на мал. 2.12. Множині ВÈС відповідає зафарбована область на мал. 2.13

Множина АÇ(ВÈС) зображує область, зафарбована на обох попередніх діаграмах, тому вона представлена на мал. 2.14 більш темною областю. Множина АÇВ представлена на мал. 2.15 зафарбованою. областю

Множина АÇС зображена на мал. 2.16 більш темною областю, а множина (АÇВ)È(АÇС) зображена зафарбованою областю на мал. 2.17

Отже, АÇ(ВÈС) и (АÇВ)È(АÇС) зображуються однаково на діаграмах Венна, тому АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС)

Нехай задана універсальна множина U. Тоді для любих A, B, C , справедливі слідуючі властивості:

1. Ідемпотентність.

2. Комутативність.

3. Асоціативність.

АÇ (ВÇС)=(АÇВ) ÇС

4. Дистрибутивність.

І закон.

ІІ закон.

5. Поглинання.

6. Властивість тотожності (нуля).

7. Властивість одиниці.

8. Інволютивність.(двойне доповнення)

(А')'=А

9. Закон де Моргана.

(AÈB)'= А'ÇВ' (AÇB)'= А'ÈВ'

10. Властивість доповнення.

АÈ А'=U AÇ А'=Æ

11. Вираз для різниці.

A-B=АÇВ'

В справедливості перерахованих властивостей можна впевнитися різними способами. Наприклад, намалювати діаграми Венна для лівої і правої частини і впевнитися, що вони співпадають, або ж провести формальне доведення.

Довести закон де Моргана (AÈB)'= А'ÇВ'.

Розв’язання.

Доведемо, що і . Нехай . Тоді , отже

Нехай тепер . Маємо:. Отже,, що і доводить рівність.

Довести включення (В-С)-(В-А) Ì А-С.

Розв’язання.

Необхідно встановити, що будь-який елемент лівої частини включення є також елементом правої і встановити, що у правій частині існує такий елемент, який не входить у ліву. Нехай елемент x Î А-С. Тоді x Î А, але x Ï С. Якщо x Î B, то x Î B-С і x Ï B-A. Тому x Î (B-С)-(B-A). Якщо ж x Ï B, то x Ï B-С, і тому x Ï (B-С)-(B-A). Отже, у правій частині є елемент, який не належить лівій, що й доводить правильність включення.

Читайте також:

1. IV. Політика держав, юридична регламентація операцій із золотом.
2. POS -Інтелект - відеоконтроль касових операцій
3. Автоматизація касових операцій
4. АДАПТАЦІЯ ОПЕРАЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ДО ЗМІНИ ЇЇ ЗАВАНТАЖЕННЯ.
5. Аеродинамічні властивості колісної машини
6. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
7. Аналіз динаміки та структури валютних операцій
8. Аналіз доходів та витрат від операцій з цінними паперами.
9. Аналіз ефективності кредитних операцій
10. Аналіз основних систем трудового і професійного навчання: предметної, предметно-операційної, операційної, операційно-предметної, системи ЦІП, операційно-комплексної тощо.
11. Аналіз пасивних операцій банку
12. Аналізатори людини та їхні властивості.

Переглядів: 1665