• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Необхідні умови існування сідлової точки

Таблиця 7.1

Необхідно знайти оптимальні площі посіву озимої пшениці та цукрових буряків.

Нехай: х₁ – площа ріллі під озимою пшеницею, сотні га;

х₂ – площа ріллі під цукровими буряками, сотні га.

Звернемо увагу на те, що собівартість тонни пшениці та цукрових буряків залежить від відповідної площі посіву.

Запишемо економіко-математичну модель цієї задачі. Критерієм оптимальності візьмемо максимізацію чистого доходу:

за умов:

Запишемо функцію Лагранжа:

Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

З цієї системи рівнянь визначаємо координати сідлових точок. З першого та другого рівняння знаходимо l₁ і, прирівнюючи вирази, маємо:

(7.10)

або, скоротивши на 100 обидві частини і розкривши дужки, отримаємо:

. (7.11)

Із останнього рівняння системи маємо: .

Підставимо вираз для у рівність (7.11). Отримаємо:

або

Отже, ;

.

(553 га);

(178 га).

Відповідно дістаємо:

га);

га).

Тобто отримали дві сідлові точки:

Перевіримо за допомогою достатньої умови існування екстремуму спочатку сідлову точку .

Матриця Гессе має такий вигляд:

.

За вищезазначеним правилом визначаємо головні мінори, починаючи з 2-го порядку ( ):

,

.

Отже, головні мінори утворюють знакозмінний ряд та, починаючи з головного мінору 2-го порядку, наступний мінор визначається знаком , тобто є точкою максимуму.

Обчислимо значення цільової функції в цій точці:

Аналогічні обчислення для точки показують, що вона не є екстремальною.

Отже, цільова функція набуде максимального значення, якщо озима пшениця вирощуватиметься на площі 647 га, а цукрові буряки – на площі 553 га.

Метод множників Лагранжа може застосовуватися також у разі наявності обмежень на знаки змінних і обмежень-нерів­ностей.

Розглянемо таку задачу в загальному вигляді:

,

причому всі функції, що входять у задачу, мають бути диференційовними хоча б один раз.

Очевидно, що введення в ліві частини нерівностей системи обмежень задачі додаткових невід’ємних змінних перетворює початкову задачу в таку, що містить лише обмеження-рівності, тобто яка за формою та методом розв’язування збігатиметься з задачею (7.6)-(7.7).

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n+m)-вимірному просторі змінних за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних розглянуто в п.7.4).

Розглянемо нелінійну задачу:

,

.

Причому на компоненти векторів накладено обмеження на знаки. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження, через .

Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:

= . (7.12)

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (7.12), якщо для всіх виконується співвідношення:

. (7.13)

Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.

Сідлова точка функції виду (7.12) за означенням задовольняє умову:

.

Нерівність виконується для всіх точок Х, тобто також і для тих, у яких лише одна координата відрізняється від Х^*. Допустимо, що це х_k, а всі інші збігаються з координатами сідлової точки .

Оскільки права частина нерівності є фіксованою, а в лівій частині змінюється лише одна координата х_k, то приходимо до функ­ції однієї змінної , яку можна зобразити графічно на координатній площині.

Розглянемо спочатку випадок, коли , тобто лише частину координатної площини, для якої .

Можливі такі випадки:

1) коли всі , то максимальне значення функції L(x_k) досягатиметься в точці, для якої (рис.7.5).

Рисунок 7.5

2) коли максимум функції L(x_k) досягатиметься в точці і розглядувана частинна похідна також дорівнюватиме нулю: (рис.7.6).

Рисунок 7.6

3) коли точка максимуму функції L(x_k) досягатиметься також у точці
, а частинна похідна (рис.7.7).

Рисунок 7.7

Узагальнюючи всі три ситуації, маємо:

для

та

.

Розглядаючи другу частину нерівності (7.13):

аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис.7.8-7.9, встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.

Рисунок 7.8 Рисунок 7.9

Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:

для тих індексів j, де . (7.14)

Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на рис.7.5-7.9, причому графіки будуть симетрично відоб­ражені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

для тих індексів j, де . (7.15)

І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак х_j умови не накладаються, то необхідною умовою є:

, – довільного знака. (7.16)

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:

. (7.17)

Розглядаючи другу частину нерівності (7.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:

для тих індексів і, де , (7.18)

для тих індексів і, де , (7.19)

для тих індексів і, де має довільний знак. (7.20)

Отже, справджується рівняння:

. (7.21)

Сукупність співвідношень (7.14)-(7.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .

Читайте також:

1. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
2. Аналіз точки беззбитковості
3. Аналогія як умовивід
4. Анімізм – уявлення про існування духовних істот та віра в можливість спілкування з ними.
5. Блок 4. Умови та охорона праці.
6. Блок перевірки умови
7. БУДОВА ТА УМОВИ ФОРМУВАННЯ ШАРУВАТИХ ТОВЩ
8. Буття людини як реальний процес її існування
9. Бюджетні запити: їх суть, необхідність складання та аналіз
10. Виберіть серед держав ту, що утворилася у 1449р. і зазначте, яку політику щодо укр. земель проводили її правителі у ХУ ст., коли ця держава припинила своє існування.
11. Видалення характерної точки
12. Види аудиторських висновків та умови їх надання

Переглядів: 1693