• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Необхідні умови існування сідлової точки

Таблиця 7.1

Необхідно знайти оптимальні площі посіву озимої пшениці та цукрових буряків.

Нехай: х₁ – площа ріллі під озимою пшеницею, сотні га;

х₂ – площа ріллі під цукровими буряками, сотні га.

Звернемо увагу на те, що собівартість тонни пшениці та цукрових буряків залежить від відповідної площі посіву.

Запишемо економіко-математичну модель цієї задачі. Критерієм оптимальності візьмемо максимізацію чистого доходу:

за умов:

Запишемо функцію Лагранжа:

Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

З цієї системи рівнянь визначаємо координати сідлових точок. З першого та другого рівняння знаходимо l₁ і, прирівнюючи вирази, маємо:

(7.10)

або, скоротивши на 100 обидві частини і розкривши дужки, отримаємо:

. (7.11)

Із останнього рівняння системи маємо: .

Підставимо вираз для у рівність (7.11). Отримаємо:

або

Отже, ;

.

(553 га);

(178 га).

Відповідно дістаємо:

га);

га).

Тобто отримали дві сідлові точки:

Перевіримо за допомогою достатньої умови існування екстремуму спочатку сідлову точку .

Матриця Гессе має такий вигляд:

.

За вищезазначеним правилом визначаємо головні мінори, починаючи з 2-го порядку ( ):

,

.

Отже, головні мінори утворюють знакозмінний ряд та, починаючи з головного мінору 2-го порядку, наступний мінор визначається знаком , тобто є точкою максимуму.

Обчислимо значення цільової функції в цій точці:

Аналогічні обчислення для точки показують, що вона не є екстремальною.

Отже, цільова функція набуде максимального значення, якщо озима пшениця вирощуватиметься на площі 647 га, а цукрові буряки – на площі 553 га.

Метод множників Лагранжа може застосовуватися також у разі наявності обмежень на знаки змінних і обмежень-нерів­ностей.

Розглянемо таку задачу в загальному вигляді:

,

причому всі функції, що входять у задачу, мають бути диференційовними хоча б один раз.

Очевидно, що введення в ліві частини нерівностей системи обмежень задачі додаткових невід’ємних змінних перетворює початкову задачу в таку, що містить лише обмеження-рівності, тобто яка за формою та методом розв’язування збігатиметься з задачею (7.6)-(7.7).

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n+m)-вимірному просторі змінних за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних розглянуто в п.7.4).

Розглянемо нелінійну задачу:

,

.

Причому на компоненти векторів накладено обмеження на знаки. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження, через .

Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:

= . (7.12)

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (7.12), якщо для всіх виконується співвідношення:

. (7.13)

Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.

Сідлова точка функції виду (7.12) за означенням задовольняє умову:

.

Нерівність виконується для всіх точок Х, тобто також і для тих, у яких лише одна координата відрізняється від Х^*. Допустимо, що це х_k, а всі інші збігаються з координатами сідлової точки .

Оскільки права частина нерівності є фіксованою, а в лівій частині змінюється лише одна координата х_k, то приходимо до функ­ції однієї змінної , яку можна зобразити графічно на координатній площині.

Розглянемо спочатку випадок, коли , тобто лише частину координатної площини, для якої .

Можливі такі випадки:

1) коли всі , то максимальне значення функції L(x_k) досягатиметься в точці, для якої (рис.7.5).

Рисунок 7.5

2) коли максимум функції L(x_k) досягатиметься в точці і розглядувана частинна похідна також дорівнюватиме нулю: (рис.7.6).

Рисунок 7.6

3) коли точка максимуму функції L(x_k) досягатиметься також у точці
, а частинна похідна (рис.7.7).

Рисунок 7.7

Узагальнюючи всі три ситуації, маємо:

для

та

.

Розглядаючи другу частину нерівності (7.13):

аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис.7.8-7.9, встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.

Рисунок 7.8 Рисунок 7.9

Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:

для тих індексів j, де . (7.14)

Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на рис.7.5-7.9, причому графіки будуть симетрично відоб­ражені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

для тих індексів j, де . (7.15)

І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак х_j умови не накладаються, то необхідною умовою є:

, – довільного знака. (7.16)

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:

. (7.17)

Розглядаючи другу частину нерівності (7.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:

для тих індексів і, де , (7.18)

для тих індексів і, де , (7.19)

для тих індексів і, де має довільний знак. (7.20)

Отже, справджується рівняння:

. (7.21)

Сукупність співвідношень (7.14)-(7.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .

Читайте також:

1. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
2. Аналіз точки беззбитковості
3. Аналогія як умовивід
4. Анімізм – уявлення про існування духовних істот та віра в можливість спілкування з ними.
5. Блок 4. Умови та охорона праці.
6. Блок перевірки умови
7. БУДОВА ТА УМОВИ ФОРМУВАННЯ ШАРУВАТИХ ТОВЩ
8. Буття людини як реальний процес її існування
9. Бюджетні запити: їх суть, необхідність складання та аналіз
10. Виберіть серед держав ту, що утворилася у 1449р. і зазначте, яку політику щодо укр. земель проводили її правителі у ХУ ст., коли ця держава припинила своє існування.
11. Видалення характерної точки
12. Види аудиторських висновків та умови їх надання

Переглядів: 1630