• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Незалежні події

Умовна ймовірність

Умовною ймовірністю наставання події при умові, що при випробуванні настала подія записується так:

Знайдемо цю ймовірність, якщо прості елементарних подій

І

Так як в нашому випробуванні відомо, що настала елементарна подія складу , а всі елементарні події рівноправні за постановкою задачі, то для цього випробування поява кожної елементарної події, що входить у склад дорівнює .

У випробуванні подія настає тоді і тільки тоді, коли настане елементарна подія складу . І за класичною формулою випливає: .

Загальний випадок

У загальному випадку ця формула не виводиться, а тільки обґрунтовується.

Проведемо довільних випробувань і зафіксуємо з них випробувань, в кожному з яких настала подія і випробувань, в кожному з яких настала подія і , і одночасно.

Теорія ймовірностей будується для випадку, коли частість наставання будь-якої події у довільній, необмеженій кількості випробувань, що має одну границю, що зветься її ймовірністю.

Тоді умовна частість наставання події А за умови, що настала :

при чисельник має границю , а знаменник – .

(границя умовної частості)

Узагальнення умовної ймовірності

Ймовірність перетину довільної кількості подій

Розглянемо довільну послідовність подій і нехай:

Тоді має місце формула:

У формулу входить умовна ймовірність. Для того, щоб умовні ймовірності існували треба, щоб всі відповідні знаменники були . Покажемо, що всі знаменники , якщо виконується:

Нехай формула виконується для

Незалежні події

Події і звуться незалежними, якщо: .

З цього означення випливає зміст терміну «незалежні події».

Нехай , , тоді

Нехай навпаки:

Тоді:

Доведення:

Аналогічно і для другої частини.

Таким чином отримали еквівалентні означення незалежності подій. Якщо , то і незалежні тоді, коли:

З еквівалентного означення незалежності і випливає: Подій і незалежні, якщо ймовірність наставання однієї з них не залежить від того настала чи не настала інша.

Якщо подій і незалежні, то незалежні також події

Доведення для :

Означення: Події звуться незалежними, якщо

Незалежні сукупності:

Події називаються незалежними в сукупності, якщо для для

Якщо подій є незалежними в сукупності, то вони автоматично є незалежні. Зворотне твердження не вірне.

Нехай подій є незалежними в сукупності. Фіксуємо довільний набір індексів і беремо . Знайдемо

виконується , то це еквівалентне означення в сукупності.

Формула повної ймовірності

, ,

Події попарно не перетинаються

Події і зв’язані рівністю:

Знайдемо

Яку б не взяли складну подію з , вона обов’язково є у чи .

Події попарно несумісні

Приклад. Нехай маємо три склади урн: 7 урн першого типу, 4 урни другого типу та 6 урн третього типу. В кожній урні першого типу є 10 білих і 11 чорних кульок, у кожній урні другого типу – 5 білих і 10 чорних,, а в урнах третього типу – 3 білих і 7 чорних. Заплющивши очі навмання підійти до урни, перемішати кульки, вийняти 1 кульку, подивитись, кинути назад і перемішати знову.Знайти ймовірність того, що витягнута кулька біла.

Елементарні події – усі кульки, – всі білі кульки, – кількіть різних типів урн, – всі кульки, що входять в 7 урн першого типу.

– всі кульки, що входять в 4 урни другого типу.

– всі кульки, що входять в 6 урн третього типу.

Всі події попарно несумісні, тому:

Приклад. Та сама постановка задачі, що і у прикладі, наведеному вище. Треба знайти у результаті випробування з’явилась біла кулька, знайти ймовірність того, що вона витягнута з урни -ого складу.

Знайти з попереднього прикладу.

Читайте також:

1. V. НАЙБІЛЬШ ВАЖЛИВІ ПОДІЇ І ДАТИ
2. Безумовною є інформація про події, що реально відбуваються у матеріальному світі.
3. Боротьба за возз’єднання Української держави, за незалежність у 60- 80-х роках XVII ст.
4. Боротьба за возз’єднання Української держави, за незалежність у 60-80-х роках XVII ст.
5. Виявлення, фіксація, вилучення речових доказів із місця події.
6. Відновлення громадянського суспільства в Україні в кінці 80-х – на початку 90-х років ХХ ст. Розвиток громадянського суспільства в незалежній Україні.
7. Відповідно до ст. 69 ЦПК перебіг процесуального строку починається з наступного дня після відповідної календарної дати або настання події, з якою пов'язано його початок.
8. Воєнно-політичні події 1649 – 1653 рр. Утворення Української гетьманської держави.
9. Вплив лютневої революції в Росії на події в Україні.
10. Встановлення факту віднесення аварійної події до рангу НС, ви­значення виду та рівня НС проводиться у такій послідовності.
11. Гетьманування Ю. Хмельницького. Події України.
12. Геьбман Іван Мазепа і його спроба відновити державну незалежність України

Переглядів: 1238