• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Інженерний варіант аксіом Колмогорова

Частість наставання подій

Операції над подіями

Операція об’єднання

Подія , якщо подія складається з усіх елементарних подій, що входять в подію , в подію , чи і одночасно.

Примітка! Якщо елементарна подія входить і в , і одночасно, то у вона входить тільки один раз.

Означення об’єднання подій поширюється на довільну кількість подій.

– це обмежена чи нескінченно-злічувана множина.

Потужності обох відрізків рівні.

настає випробуванням, якщо настала хоча б одна з подій .

Операція перетину

( ) є перетином і , якщо складається з усіх елементарних подій і , і

настає випробуванням тоді і тільки тоді, як настала подія і , і .

1) 2)

3)

Різниця множин

. ( )

– подія протилежна

Події і звуться несумісними, якщо їх перетин:

Наслідок: якщо події і несумісні, то вони ніколи не можуть настати внаслідок одного випробування.

=

=

– множина всіх підмножин

Елементів у

– усі випробування.

– кількість випробувань, у кожному з яких настала подія А.

Частістю наставання

Властивості частості:

1)

2)

3) Розглянемо ,

Розглянемо попарно несумісних подій такі що, для

Нехай настала , тоді жодна не настала .

Теорія ймовірностей описує не будь-які випробування, а тільки ті, для яких виконується, що у будь-якій довільній серії випробувань, для будь-якої події частість наставання події при необмеженій кількості випробувань ( ) завжди існує один той самий lim, слушно назвати ймовірністю наставання події .

Наслідок. З цього випливає інженерне розуміння події.

Ймовірність наставання події – це частість наставання події при достатньо великій кількості випробувань.

Ймовірність наставання події – це границя частості наставання події у довільній, необмеженій серії випробувань.

Довільна серія випробувань означає, що на результат випробувань не накладено жодних умов.

Але всі спроби побудувати теорію ймовірностей як математичну науку, що використовує означення ймовірності : виявились неможливі.

Найвдаліша спроба належить американському вченому Мізесу, але математики його теорію не сприйняли. Вихід з положення знайшов видатний радянський вчений академік Колмогоров. Саме він побудував математичну теорію ймовірностей, яку прийняв світ. Він ввів аксіоматичні ймовірності наставання події, з яких прямо не випливає, що ймовірність наставання події – це границя частості наставання події. Цей результат існує, є теоремою і доводиться.

Довільній події ставиться у відповідність число, що зветься ймовірністю наставання події .

Аксіоми:

1)

2)

3) , ,

тоді

може бути , тому що основні результати теорії ймовірностей випливають з граничних теорем, а для доведення граничних теорем оперують з нескінченним об’єднанням чи перетином довільних подій.

Зміст аксіом Колмогорова

Так як для будь-якого частості задовольняють своїм 3 властивостям, то і для необмеженого - ці властивості повинні виконуватись. Якщо він доведе, що його аксіоматичні ймовірності – границя частості події, то цими самими властивостями повинні задовольняти:

Наприклад. де -- обмежене число або

За означенням елементарні події несумісні за третьою аксіомою . Покажемо, що виконуються перша і третя аксіоми Колмогорова.

Розглянемо довільну подію

Таким чином ймовірності аксіоматичні по Колмогорову побудовано. А з теореми великих чисел (Бернуллі):

Примітка! У цьому поясненні не фіксується як розуміється цей ліміт.

У теорії ймовірностей існують 4 види збіжностей:

1) Збіжність з ймовірністю 1;

2) Збіжність по ймовірності;

3) Збіжність у середньоквадратичному;

4) Збіжність по розподілу.

У нашому курсі буде розглянуто 2 та 3 тип збіжностей.

Простір елементарних подій складається з обмежених елементарних подій.

Тоді за прикладом, що наведений вище, мають місце формули:

Всі елементарні події є рівноправними, тобто жодній елементарній події не можна віддати перевагу до випробування (жодне з них не може наставати частіше, ніж інше).

Класичне означення ймовірності:

Ймовірність наставання довільної події дорівнює дробу, де чисельник – кількість подій, що входять в , а -- загальна кількість елементарних подій.

Наприклад. = напівінтервал [0,1). Маємо голку, кінець якої вважатимемо матеріальною точкою. Кидаємо голку в цей інтервал, вона гарантовано попадає в нього. Усі елементарні події – усі різні числа з [0,1). Усі ці числа рівноправні, а значить рівно ймовірні. . Покажемо, що якщо , то

Так як і , то з цього миттєво випливає, що ймовірність будь-якого числа

Самостійно довести, взявши в якості А усі раціональні числа з [0,1).

Подія може настати внаслідок випробування і має ймовірність настання 0. Якщо пів інтервал розділити пополам , то випливає, що ймовірність наставання першої складної події

дорівнює ймовірності наставання другої складної події, і дорівнює .

Якщо – простір елементарних подій є нескінченно злічена множина чисел на числовій осі, то може виникнути ситуація, що кожне число теоретично може настати в результаті випробування, а ймовірність наставання для нього рівна 0. А не 0 має ймовірність наставання складна подія, що є нескінченною, незліченною.

Доведення:

Читайте також:

1. II варіант
2. Аксіома математичної індукції
3. Аксіома неперервності дійсних чисел
4. Аксіоматизація знань та причинні зв'язки у методології наукових досліджень
5. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
6. Аксіоми безпеки життєдіяльності.
7. Аксіоми безпеки життєдіяльності.
8. Аксіоми додавання і множення
9. Аксіоми статики
10. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
11. Алгоритм планування податкових платежів. Вибір оптимального варіанту оподаткування та сплати податків.
12. АЛОМОРФИ І ВАРІАНТИ МОРФЕМ

Переглядів: 863