Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Інженерний варіант аксіом Колмогорова

Частість наставання подій

Операції над подіями

Операція об’єднання

Подія , якщо подія складається з усіх елементарних подій, що входять в подію , в подію , чи і одночасно.

Примітка! Якщо елементарна подія входить і в , і одночасно, то у вона входить тільки один раз.

Означення об’єднання подій поширюється на довільну кількість подій.

– це обмежена чи нескінченно-злічувана множина.

Потужності обох відрізків рівні.

настає випробуванням, якщо настала хоча б одна з подій .

Операція перетину

( ) є перетином і , якщо складається з усіх елементарних подій і , і

настає випробуванням тоді і тільки тоді, як настала подія і , і .

1) 2)

Різниця множин

. ( )

– подія протилежна

Події і звуться несумісними, якщо їх перетин:

Наслідок: якщо події і несумісні, то вони ніколи не можуть настати внаслідок одного випробування.

– множина всіх підмножин

Елементів у

– усі випробування.

– кількість випробувань, у кожному з яких настала подія А.

Частістю наставання

Властивості частості:

3) Розглянемо ,

Розглянемо попарно несумісних подій такі що, для

Нехай настала , тоді жодна не настала .

Теорія ймовірностей описує не будь-які випробування, а тільки ті, для яких виконується, що у будь-якій довільній серії випробувань, для будь-якої події частість наставання події при необмеженій кількості випробувань ( ) завжди існує один той самий lim, слушно назвати ймовірністю наставання події .

Наслідок. З цього випливає інженерне розуміння події.

Ймовірність наставання події – це частість наставання події при достатньо великій кількості випробувань.

Ймовірність наставання події – це границя частості наставання події у довільній, необмеженій серії випробувань.

Довільна серія випробувань означає, що на результат випробувань не накладено жодних умов.

Але всі спроби побудувати теорію ймовірностей як математичну науку, що використовує означення ймовірності : виявились неможливі.

Найвдаліша спроба належить американському вченому Мізесу, але математики його теорію не сприйняли. Вихід з положення знайшов видатний радянський вчений академік Колмогоров. Саме він побудував математичну теорію ймовірностей, яку прийняв світ. Він ввів аксіоматичні ймовірності наставання події, з яких прямо не випливає, що ймовірність наставання події – це границя частості наставання події. Цей результат існує, є теоремою і доводиться.

Довільній події ставиться у відповідність число, що зветься ймовірністю наставання події .

Аксіоми:

3) , ,

тоді

може бути , тому що основні результати теорії ймовірностей випливають з граничних теорем, а для доведення граничних теорем оперують з нескінченним об’єднанням чи перетином довільних подій.

Зміст аксіом Колмогорова

Так як для будь-якого частості задовольняють своїм 3 властивостям, то і для необмеженого - ці властивості повинні виконуватись. Якщо він доведе, що його аксіоматичні ймовірності – границя частості події, то цими самими властивостями повинні задовольняти:

Наприклад. де -- обмежене число або

За означенням елементарні події несумісні за третьою аксіомою . Покажемо, що виконуються перша і третя аксіоми Колмогорова.

Розглянемо довільну подію

Таким чином ймовірності аксіоматичні по Колмогорову побудовано. А з теореми великих чисел (Бернуллі):

Примітка! У цьому поясненні не фіксується як розуміється цей ліміт.

У теорії ймовірностей існують 4 види збіжностей:

1) Збіжність з ймовірністю 1;

2) Збіжність по ймовірності;

3) Збіжність у середньоквадратичному;

4) Збіжність по розподілу.

У нашому курсі буде розглянуто 2 та 3 тип збіжностей.

Простір елементарних подій складається з обмежених елементарних подій.

Тоді за прикладом, що наведений вище, мають місце формули:

Всі елементарні події є рівноправними, тобто жодній елементарній події не можна віддати перевагу до випробування (жодне з них не може наставати частіше, ніж інше).

Класичне означення ймовірності:

Ймовірність наставання довільної події дорівнює дробу, де чисельник – кількість подій, що входять в , а -- загальна кількість елементарних подій.

Наприклад. = напівінтервал [0,1). Маємо голку, кінець якої вважатимемо матеріальною точкою. Кидаємо голку в цей інтервал, вона гарантовано попадає в нього. Усі елементарні події – усі різні числа з [0,1). Усі ці числа рівноправні, а значить рівно ймовірні. . Покажемо, що якщо , то

Так як і , то з цього миттєво випливає, що ймовірність будь-якого числа

Самостійно довести, взявши в якості А усі раціональні числа з [0,1).

Подія може настати внаслідок випробування і має ймовірність настання 0. Якщо пів інтервал розділити пополам , то випливає, що ймовірність наставання першої складної події

дорівнює ймовірності наставання другої складної події, і дорівнює .

Якщо – простір елементарних подій є нескінченно злічена множина чисел на числовій осі, то може виникнути ситуація, що кожне число теоретично може настати в результаті випробування, а ймовірність наставання для нього рівна 0. А не 0 має ймовірність наставання складна подія, що є нескінченною, незліченною.

Доведення:

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Вступ у теорію ймовірностей	\|	Незалежні події

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.