Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Зростаючою (спадною) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

 

Доведення. Нехай послідовність( xn)є спадною,тобто

 

x1 > x2 ,> ... > xn > ...,і нехай вона обмежена знизу,тобто існує такечисло m , що xnm ,n = 1,2,...

Тоді множина значень послідовності (xn) має нижню грань,

яку позначимо через a = inf( xn). Покажемо, що lim xn = a. Оскі-

n→ ∞

льки а є нижня грань множини значень послідовності (xn), то для всіх її значень виконується нерівність xn>a.


 


Проте, згідно з властивістю нижньої грані, яке б ми не взяли як завгодно мале додатне число ε>0 знайдеться таке натуральне чи-сло N , що xN < a + ε . Тоді, беручи до уваги те, що послідовність

 

спадна, дістаємо нерівність a < xn < a + ε як тільки nN або

 

a − ε< xn < a +εяк тільки n≥N.Отже, xn a <εяк тільки n N ,

що доводить теорему.

 

Примітка 1. Слід зауважити,що ця теорема дає ознаку,заякою можна встановити тільки існування границі числової послідо-вності, але не можна знайти числове значення границі.

Примітка 2. Умова монотонності в розглянутій теоремі єобов’язковою. Не всяка обмежена числова послідовність (xn) має

 

границю. Так послідовність xn = (1 )n 1,nN є обмежена ( xn 1 ) ,але границі немає.

Приклад 1.Довести,що послідовність

 

xn =     +   + ... + збігається, тобто, що існує lim xn.  
  +     + 22 1 + 2n  
  2 1   n→ ∞  

Розв’язування. Доведемо,що числова послідовність(xn)є зро-стаючою. Справді,

    xn + 1 =       +         + ...+             +           > xn ,    
                  + 2n     + 2n+ 1    
                + 2 1 + 22                    
оскільки                 > 0.   З другого боку,   використовуючи формулу  
                     
  1 + 2n+ 1          
  = b − b qn   (суми           перших     членів геометричної прогресії  
Sn               n -        
q                
                                                                           
b1 ,b1q1 ,...,b1q1n 1 ... )маємо                                                
                                                1 1 n                  
                                                                 
                                                     
    xn <   +   + ... +   =         2 2   = 1   < 1.    
      22     2n         1 −         2n    
                                                         
                                                                             
                                                                                   
    Звідси випливає, що послідовність xn є обмеженою.    

 

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що задана послідовність має границю.


 


Примітка 3. Зауважимо,що добутокnпослідовних натура-

льних чисел 1 ⋅ 2 3 ... n скорочено позначають n! ,тобто  
n! = 1 2 3 ... n і називають“ен факторіал”.  
Приклад 2.Показати,що числова послідовність  
xn = сn , с > 0 , nN має границю, яка дорівнює нулю.  
n!  
     

Розв’язування. Послідовність(xn),починаючи з певногозначення n і для всіх його наступних значень, є спадною, оскільки

  = cn+ 1 = cn   c   = xn   c x n+ 1 = c    
xn+ 1                 , або     .  
        + 1     xn n + 1  
    ( n + 1 )! n! n       n + 1      
Звідси бачимо, що як   тільки   n + 1 > c ,тобто n > c 1 ,то  

xn+ 1 < xn .

Крім того, послідовність (xn) є обмеженою знизу, бо члени цієї послідовності більші, наприклад, за нуль.

 

Отже, існує границя розглядуваної послідовності, причому

 

      lim cn   = 0 ( с > 0 ) .  
           
    n→ ∞ n!        
Справді, нехай lim yn = а.Тоді lim yn+ 1 = а.  
  n→ ∞           n→ ∞    
Перейшовши в рівності xn+ 1 = xn c до границі, дістанемо  
   
                  n + 1  
lim xn+ 1 = lim xn ⋅ lim   c або a = a0 .  
           
n→ ∞ n→ ∞ n→∞ n + 1        

Остання рівність можлива при a=0, що треба було довести.

 


Читайте також:

  1. D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М
  2. Види матеріальної відповідальності. Обмежена матеріальна відповідальність робітників і службовців
  3. Гільзи вільно вставляють у гнізда блока і ущільнюють знизу мідними або гумовими прокладками (кільцями), а зверху — прокладкою головки циліндрів.
  4. Канал ствола артилерійської гармати – внутрішня порожнина ствола артилерійської гармати, що включає спрямовуючу і каморну частини і обмежена гузівником і дульними зрізами ствола.
  5. Канал ствола артилерійської гармати – внутрішня порожнина ствола артилерійської гармати, що включає спрямовуючу і коморну частини та обмежена казенником і дульними зрізами ствола.
  6. Необмежена свобода слова для масмедіа як інмутація поведінки суспільства
  7. Обмежена відповідальність як юридична основа фінансової могутності корпорацій
  8. Правова держава– це держава, обмежена в своїх діях правом, що захищає свободу та інші права особи і підпорядковує владу волі суверенного народу.




Переглядів: 1036

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Послідовність, яка має скінчену границю, називається збіжною, у протилежному випадку - розбіжною. | Нескінчено малі величини та їх властивості

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.017 сек.