• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Зростаючою (спадною) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

Доведення. Нехай послідовність( x_n)є спадною,тобто

x₁ > x₂ ,> ... > x_n > ...,і нехай вона обмежена знизу,тобто існує такечисло m , що x_n ≥ m ,n = 1,2,...

Тоді множина значень послідовності (x_n) має нижню грань,

яку позначимо через a = inf( xn). Покажемо, що lim xn = a. Оскі-

n→ ∞

льки а є нижня грань множини значень послідовності (x_n), то для всіх її значень виконується нерівність x_n>a.

Проте, згідно з властивістю нижньої грані, яке б ми не взяли як завгодно мале додатне число ε>0 знайдеться таке натуральне чи-сло N , що x_N < a + ε . Тоді, беручи до уваги те, що послідовність

спадна, дістаємо нерівність a < x_n < a + ε як тільки n ≥ N або

a − ε< x_n < a +εяк тільки n≥N.Отже, x_n − a <εяк тільки n ≥ N ,

що доводить теорему.

Примітка 1. Слід зауважити,що ця теорема дає ознаку,заякою можна встановити тільки існування границі числової послідо-вності, але не можна знайти числове значення границі.

Примітка 2. Умова монотонності в розглянутій теоремі єобов’язковою. Не всяка обмежена числова послідовність (x_n) має

границю. Так послідовність x_n = ( −1 )^{n− 1},n ∈ N є обмежена ( x_n ≤ 1 ) ,але границі немає.

Приклад 1.Довести,що послідовність

Розв’язування. Доведемо,що числова послідовність(x_n)є зро-стаючою. Справді,

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що задана послідовність має границю.

Примітка 3. Зауважимо,що добутокnпослідовних натура-

Розв’язування. Послідовність(x_n),починаючи з певногозначення n і для всіх його наступних значень, є спадною, оскільки

^xn+ 1 ^{< x}n ^.

Крім того, послідовність (x_n) є обмеженою знизу, бо члени цієї послідовності більші, наприклад, за нуль.

Отже, існує границя розглядуваної послідовності, причому

Остання рівність можлива при a=0, що треба було довести.

Читайте також:

1. D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М
2. Види матеріальної відповідальності. Обмежена матеріальна відповідальність робітників і службовців
3. Гільзи вільно вставляють у гнізда блока і ущільнюють знизу мідними або гумовими прокладками (кільцями), а зверху — прокладкою головки циліндрів.
4. Канал ствола артилерійської гармати – внутрішня порожнина ствола артилерійської гармати, що включає спрямовуючу і каморну частини і обмежена гузівником і дульними зрізами ствола.
5. Канал ствола артилерійської гармати – внутрішня порожнина ствола артилерійської гармати, що включає спрямовуючу і коморну частини та обмежена казенником і дульними зрізами ствола.
6. Необмежена свобода слова для масмедіа як інмутація поведінки суспільства
7. Обмежена відповідальність як юридична основа фінансової могутності корпорацій
8. Правова держава– це держава, обмежена в своїх діях правом, що захищає свободу та інші права особи і підпорядковує владу волі суверенного народу.

Переглядів: 1049