МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Послідовність, яка має скінчену границю, називається збіжною, у протилежному випадку - розбіжною.
Основні теореми про границі числових послідовностей ТЕОРЕМА 1. Послідовність може мати тільки одну грани- Цю. Доведення. Припустимо,щоlim xn=aіlim xn=b,при чому
n→ ∞ n→ ∞
a≠b. Виберемо ε = 1a − b . Згідно з означенням границі послідов- 3
ності виконуються нерівності
xn − b < 1 a − b для n > N2 . 3
Візьмемо тепер натуральне число N , більше за N1 і N2 . Отже, для n>N одночасно будуть виконуватися обидві вище
написані нерівності, на основі яких одержуємо a − b = ( a − xn ) + ( xn − b ) ≤ a − xn + xn − b = xn − a + + xn − b < 2 a − b . 3 Звідси знаходимо, що a − b < 2a − b , а це неможливо, якщо 3
a ≠ b. Таким чином,наше припущення,що послідовність може ма-ти різні границі, привело до протиріччя. Збіжна послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 1 доведена.
ТЕОРЕМА 2. Нехай послідовності (xn) і (yn) мають відпо– відно границі aіb Тоді сума (xn+yn) (різниця (xn-- yn)) має грани-цю, яка дорівнює a+b ( a−b ) , тобто
ТЕОРЕМА 3. Нехай послідовності ( xn ) і ( yn ) мають від-повідно границі aіb. Тоді і їх добуток ( xn⋅yn ) має границю, яка дорівнює a⋅b , тобто
З теореми 3 випливають такі наслідки . 1. Сталий множник можна винести за знак границі. Справді, нехай xn = C , а yn має границю. Тоді
причому b≠0. Тоді і їх відношення
( xn ) має скінчену границю,яка дорівнює a ,тобто
Доведення.Оскільки числоaє границею послідовності( xn),то згідно означення границі послідовності для будь-якого ε > 0 іс-
ву теореми 6 та попередні нерівності, дістанемо a − ε < yn < a + ε при n≥N, що рівносильно yn − a < ε при n≥N.
Остання нерівність й доводить теорему 6.
Означення. Нехай (xn) задана послідовність і (nk) - довільна зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність ( xnk ) називається підпослідовністю послідовності (xn).
З означення границі послідовності випливає правильність тве-рдження.
ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність ( xn ) має границю a , то й будь-яка її послідовність має ту саму границю a .
Справді, якщо число a є границею послідовності ( xn) , то для будь-якого числа ε > 0 в ε - окіл ( a − ε ,a + ε ) точки a потрап-ляють всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера N . Проте, тоді в цей окіл потрапляють і всі члени послідовності ( xnk)
як тільки nk > N . А це означає, що число a є границею
Примітка 1. Враховуючи(3.8)і(3.9),маємо таке твердження:сталий множник виноситься за знак границі, тобто
З другої сторони будемо вважати , якщо у граничному переході вигляду (3.10) одержується дія (a) , a ≠ 0 , то 0 результатом такого граничного переходу є відповідь нескінченість. Наприклад,
будемо називати невизначеними.
3.4. Деякі правила розкриття невизначеностей (∞∞)
Наприклад, нехай потрібно знайти границі :
Розділивши чисельник і знаменник на найвищий степінь n у даних прикладах, одержуємо:
льший прибуток від виробництва товарів). Покупець оцінює попит Q1 при цій ціні і визначає свою ціну P2 ,при якій цей попит Q1 рів-
ний пропозиції S1 . Ціна P2 нижча рівноважної (кожний покупець
хоче купити дешевше товар). В свою чергу продавець оцінює попит Q2 ,що відповідає ціні P2 ,і визначає свою ціну P3 і т.д.Процес торгу продовжується і в кінцевому випадку приведе до рівноважної ціни P0 ( павутина закручується). Якщо розглянути послідовність
ний пропозиції S1 . Ціна Р2 нижче рівноважної і т.д.
Процес торгу продовжується і павутина розкручується. Якщо розглянути послідовність чисел p1, p2, p3,..., то ця послідовність розбігається: lim pn = ∞ . n→ ∞
3.6. Існування границі монотонної числової послідовності ТЕОРЕМА. Якщо послідовність x1 , x2 ,..., xn ,... є монотонно
Читайте також:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|