• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Послідовність, яка має скінчену границю, називається збіжною, у протилежному випадку - розбіжною.

Основні теореми про границі числових послідовностей ТЕОРЕМА 1. Послідовність може мати тільки одну грани-

Цю.

Доведення. Припустимо,щоlim xn=aіlim xn=b,при чому

n→ ∞ n→ ∞

a≠b.

Виберемо ε = ¹a − b . Згідно з означенням границі послідов-

3

ності виконуються нерівності

x_n − b < ¹ a − b для n > N₂ .

3

Візьмемо тепер натуральне число N , більше за N₁ і N₂ . Отже, для n>N одночасно будуть виконуватися обидві вище

написані нерівності, на основі яких одержуємо

a − b = ( a − x_n ) + ( x_n − b ) ≤ a − x_n + x_n − b = x_n − a +

+ x_n − b < ² a − b .

3

Звідси знаходимо, що a − b < ²a − b , а це неможливо, якщо

3

a ≠ b. Таким чином,наше припущення,що послідовність може ма-ти різні границі, привело до протиріччя. Збіжна послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 1 доведена.

ТЕОРЕМА 2. Нехай послідовності (x_n) і (y_n) мають відпо– відно границі aіb Тоді сума (x_n+y_n) (різниця (x_n-- y_n)) має грани-цю, яка дорівнює a+b ( a−b ) , тобто

ТЕОРЕМА 3. Нехай послідовності ( x_n ) і ( y_n ) мають від-повідно границі aіb. Тоді і їх добуток ( x_n⋅y_n ) має границю, яка дорівнює a⋅b , тобто

З теореми 3 випливають такі наслідки .

1. Сталий множник можна винести за знак границі.

Справді, нехай x_n = C , а y_n має границю. Тоді

причому b≠0. Тоді і їх відношення

( ^xn ) має скінчену границю,яка дорівнює ^a ,тобто

yn									b
			xn		lim x	n		a
		lim	=	n→ ∞	=	.	(3.10)
		n→ ∞ yn		lim yn		b
					n→ ∞
ТЕОРЕМА 5. Послідовність ( xn ) , яка має границю, є об-
межена.
ТЕОРЕМА 6. Нехай члени послідовностей ( xn ), ( yn ) , ( zn )
при всіх	значеннях n=1,2,... задовольняють	нерівності
xn ≤ yn ≤ zn	і lim xn	= lim zn = a .Тоді	lim yn = a .
	n→ ∞	n→∞			n→ ∞

Доведення.Оскільки числоaє границею послідовності( x_n),то згідно означення границі послідовності для будь-якого ε > 0 іс-

ву теореми 6 та попередні нерівності, дістанемо a − ε < y_n < a + ε при n≥N, що рівносильно y_n − a < ε при n≥N.

Остання нерівність й доводить теорему 6.

Означення. Нехай (x_n) задана послідовність і (n_k) - довільна зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність ( x_nk ) називається підпослідовністю послідовності (x_n).

З означення границі послідовності випливає правильність тве-рдження.

ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність ( x_n ) має границю a , то й будь-яка її послідовність має ту саму границю a .

Справді, якщо число a є границею послідовності ( x_n) , то для будь-якого числа ε > 0 в ε - окіл ( a − ε ,a + ε ) точки a потрап-ляють всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера N . Проте, тоді в цей окіл потрапляють і всі члени послідовності ( x_nk)

як тільки n_k > N . А це означає, що число a є границею

Примітка 1. Враховуючи(3.8)і(3.9),маємо таке твердження:сталий множник виноситься за знак границі, тобто

З другої сторони будемо вважати , якщо у граничному

переході вигляду (3.10) одержується дія (^a) , a ≠ 0 , то

0

результатом такого граничного переходу є відповідь нескінченість. Наприклад,

будемо називати невизначеними.

3.4. Деякі правила розкриття невизначеностей (^∞_∞)

Наприклад, нехай потрібно знайти границі :

Розділивши чисельник і знаменник на найвищий степінь n у даних прикладах, одержуємо:

льший прибуток від виробництва товарів). Покупець оцінює попит Q₁ при цій ціні і визначає свою ціну P₂ ,при якій цей попит Q₁ рів-

ний пропозиції S₁ . Ціна P₂ нижча рівноважної (кожний покупець

хоче купити дешевше товар). В свою чергу продавець оцінює попит Q₂ ,що відповідає ціні P₂ ,і визначає свою ціну P₃ і т.д.Процес

торгу продовжується і в кінцевому випадку приведе до рівноважної ціни P₀ ( павутина закручується). Якщо розглянути послідовність

ний пропозиції S₁ . Ціна Р₂ нижче рівноважної і т.д.

Процес торгу продовжується і павутина розкручується. Якщо розглянути послідовність чисел p₁, p₂, p₃,..., то ця послідовність

розбігається: lim pn = ∞ .

n→ ∞

3.6. Існування границі монотонної числової послідовності ТЕОРЕМА. Якщо послідовність x₁ , x₂ ,..., x_n ,... є монотонно

Читайте також:

1. D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М
2. А середній коефіцієнт росту в такому випадку визначається як
3. Акта спеціального розслідування нещасного випадку.
4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
5. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
6. В крайньому випадку, записи мають бути тезисні, в які ви можете заглянути у крайньому випадку (при загрозі краху, загибелі тощо).
7. Взаємодія йонів солі, що утворюються в результаті електролітичної дисоціації з молекулами води, називається гідролізом солі.
8. Визначення. Точка О називається полюсом, а промінь l – полярною віссю.
9. Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.
10. Виникнення однорідних травм у людей, що перебувають у подібних умовах праці і побуту, називається травматизмом.
11. Випадку смерті на підприємстві, а також зникнення працівника під час
12. Вогнегасником називається переносне чи пересувне обладнан­ня для гасіння осередків пожежі за рахунок випуску запасеної вогнегасної речовини.

Переглядів: 629