Стом функції.

Відомо, що для функції y=φ(x), яка має похідну y′ = ϕ′( x ) ,

приріст функції можна зобразити у вигляді

y =ϕ′( x )⋅ x +ε x , (5.8)

де ε→0, якщо x→0.

Тоді головна лінійна частина приросту функції називаєть-ся диференціалом функції dy=φ′(x) x= φ′(x)dx.

В випадку функції двох або більше змінних наявність ча-стинних похідних ще не гарантує того, що повний приріст фу-нкції можна представити в виді, аналогічному (5.8).

Означення6 .Функція z=f(x,y) називається диференційов-ною в даній точці M ( x; y ), якщо її повний приріст в цій точці

можна представити в виді:

z = A ⋅ x + B ⋅ y +ε₁ ⋅	x +ε ₂ ⋅	y ,	(5.9)
деε₁→0 ,ε₂→0	при	x → 0 , y → 0 ,а	A і	B не залежать від
приростів x , y.
Доданки ε₁	x іε ₂	y є,очевидно,нескінченно малими вели-
чинами вищого порядку малості, ніж	x і	y.
Означення7. Повним диференціалом функції	z = f ( x; y )

Називається головна лінійна частина приросту функції відносно

x і y , тобто: dz = A ⋅

x + B ⋅

y або dz = Adx + Bdy.

ТЕОРЕМА 1. Якщо функція z=f ( x; y ) диференційовна в

даній точці M ( x; y ) ,

то існують частинні похідні цієї функції і

має місце рівність

z′

; B

z′

тобто

dz = z′ dx

+ z′ dy .

(5.10)

Доведення. Нехай функція

z = f ( x , y ) диференційовна.Тоді

має місце формула (5.9). Покладемо

y = 0 : тоді із(5.9)отримаємо

_x z = A x +ε₁ x звідки

x ^z

= A +ε₁ ,деε₁ → 0 , якщо

x → 0.

Оскільки A - стала величина ( x і y фіксовані), то

Lim

x →0

Аналогічно доводиться, що

^x^z = z′= A. x ^x

z′	=	B.	,
y		Таким чином формула

(5.10) доведена.

Нехай задана функція u = f ( x₁, x₂,..., x_n).Можна довести, по аналогії з функцією z = f ( x , y ), що в випадку диференційовності функції z = f ( x₁, x₂,..., x_n) має місце формула

du = u′	dx		+ u′	dx		+ ...+ u′ dx	n	(5.11)
x₁		x₂		x_n

Навпаки, якщо допустити , що функція u = f ( x₁x₂,..., x_n) має

частинні похідні, які є неперервними функціями по сукупності змінних в околі точки M(x₁,x₂,…,x_n) то справедлива формула (5.11).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Похідна функції по напрямку	\|	Частинні похідні вищих порядків

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.