знайти похідні. Таким чином, приходимо до поняття частинних по-хідних другого порядку, які визначаються за формулами:
( z′
)′
= z′′
;
( z′
)′
= z′′
;
( z′
)′
= z′′
;
( z′
)′
= z′′
(5.12)
x
x
xx
x
y
xy
y
x
yx
y
y
yy
-
z′′
z′′
Похідні
xy
і
yx
називаються мішаними частинними похід
ними другого порядку. Для них справедлива рівність (при умові, що
вони неперервні по
x
і
y ) z′′
=
z′′ .
xy
yx
Для позначення частинних похідних другого порядку вжива-ють також символи:
∂2 z
∂x2 ∂2 z
∂y2
= f ′′ ( x , y );
xx
= f ′′ ( x , y ).
yy
∂2 z
=
f ′′
( x , y ),
∂2 z
=
f ′′
( x , y ),
∂x∂y
xy
∂y∂x
yx
Звідси випливає спосіб знаходження частинних похідних дру-гого порядку: щоб знайти частинні похідні другого порядку, треба знайти частинні похідні першого порядку даної функції, а потім від цих похідних знайти відповідні частинні похідні першого порядку.
Таким же способом, як введено похідні другого порядку , мо-жна ввести похідні третього порядку і т.д.
Наприклад
:
z′′′
=
( z′′
)′
,
z′′
=
( z′′
)′ .
xxx
xx
x
xxy
xx
y
Приклад 1.Знайти частинні похідні другого порядку функції
z = arctg y . Перевірити,чи рівні мішані частинні похідні між со-x
бою.
Розв’язування. Знаходимо частинні похідні першого порядку:
y
′
−
y
z′
=
x
x
=
x2
= −
y
;
x
y 2
y2
x2 + y2
1 +
1 +
x
x
y
x
z′
=
x
=
x
=
.
y
y
+ y
1 +
y
x
1 +
x2
x2
Знаходимо частинні похідні другого порядку:
z′′
= −
( y )′
( x2
+ y2
) − y( x2 + y2 )′
=
2 xy
x
x
;
xx
( x2
+ y2 )2
( x2 + y2 )2
( y )′
( x2
+ y2
) − y( x2 +
y2 )′
x
+ y
− 2 y
y
− x
z′′
= −
y
y
= −
=
;
xy
( x2
+ y2 )2
( x2 + y2 )2
( x2 + y2 )2
z′′
=
( x )′ ( x2 + y2 )
− x( x2 + y
2 )′
=
x2 + y2 − 2 x
=
y2 − x2
x
;
yx
( x2 + y2 )2
( x2 + y2 )2
( x2 + y2 )2
x′ ( x2
+ y2 ) − x( x2 + y2 )′
2 xy
z′′
=
y
y
= −
.
yy
( x2 + y2 )2
( x2 + y2 )2
Очевидно
,
що
z′′
z′′ .
xy =
yx
Для функції багатьох змінних u = f ( x1, x2,..., xn)
частинні
похідні другого порядку вводимо за формулою
∂ 2 u
∂
∂u
де i = 1,n;
j = 1,n .
=
,
∂xi ∂x j
∂x j
∂xi
Якщо частинні похідні другого порядку неперервні по су-купності змінних, то мішані похідні рівні між собою,тобто