Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах

РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання

ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"

ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ

Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків

Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні

Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах

Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами

ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ

ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів


Контакти


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Частинні похідні вищих порядків

 

Оскільки частинні похідні першого порядку функції
z = f ( x , y ) знову є функціями від x і y ,то від них можна ще раз

 


знайти похідні. Таким чином, приходимо до поняття частинних по-хідних другого порядку, які визначаються за формулами:

( z′ )′ = z′′ ; ( z′ )′ = z′′ ; ( z′ )′ = z′′ ; ( z′ )′ = z′′ (5.12)  
x x   xx   x y xy   y x yx   y y yy -  
      z′′   z′′                      
Похідні xy і yx називаються мішаними частинними похід  

 

ними другого порядку. Для них справедлива рівність (при умові, що

вони неперервні по x і y ) z′′ = z′′ .  
  xy yx  

 

Для позначення частинних похідних другого порядку вжива-ють також символи:


 

∂ 2 z

∂x2 ∂ 2 z

∂y2


 

= f ′′ ( x , y );

xx

 

= f ′′ ( x , y ).

yy


 

∂ 2 z = f ′′ ( x , y ), ∂ 2 z = f ′′ ( x , y ),  
     
∂x∂y xy   ∂y∂x yx    
         

 

Звідси випливає спосіб знаходження частинних похідних дру-гого порядку: щоб знайти частинні похідні другого порядку, треба знайти частинні похідні першого порядку даної функції, а потім від цих похідних знайти відповідні частинні похідні першого порядку.

 

Таким же способом, як введено похідні другого порядку , мо-жна ввести похідні третього порядку і т.д.

Наприклад : z′′′ = ( z′′ )′ , z′′ = ( z′′ )′ .  
  xxx xx x   xxy xx y  

 

Приклад 1.Знайти частинні похідні другого порядку функції

 

z = arctg y . Перевірити,чи рівні мішані частинні похідні між со-x

бою.

 

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні першого порядку:

        y                                                              
                ′         −       y                                  
                                             
z′ =   x     x   =       x2           = −     y ;  
                                                     
x               y 2                 y2                 x2 + y2      
                  1 +                          
      1 +                                                          
                        x                              
                                                   
                x                                                  
                y                                                
                                                                    x          
                                                                         
z′   =       x     =         x             =           .  
                                     
y         y                                 + y        
    1 +               y               x          
              1 +                        
                                     
            x2                 x2                        

 


Знаходимо частинні похідні другого порядку:

z′′ = − ( y )′ ( x2   + y2   ) − y( x2 + y2 )′ =       2 xy                                    
x                           x                       ;                      
                                                                           
xx                   ( x2 + y2 )2                 ( x2 + y2 )2                          
                                                             
          ( y )′ ( x2   + y2   ) − y( x2 + y2 )′         x + y − 2 y   y − x    
z′′ = −   y                           y = −         =     ;  
                                                                           
xy                   ( x2 + y2 )2                     ( x2 + y2 )2       ( x2 + y2 )2  
                                               
z′′ = ( x )′ ( x2 + y2 ) − x( x2 + y 2 )′ =       x2 + y2 − 2 x   =     y2 − x2        
      x                                                                     ;    
                                                                               
yx             ( x2 + y2 )2                 ( x2 + y2 )2             ( x2 + y2 )2        
                                                 
    x′ ( x2 + y2 ) − x( x2 + y2 )′                 2 xy                                    
z′′ =       y                       y = −           .                              
                                                                             
yy             ( x2 + y2 )2                 ( x2 + y2 )2                                  
                                                               
    Очевидно , що   z′′ z′′ .                                                              
        xy = yx                                                              
    Для функції багатьох змінних u = f ( x1, x2,..., xn)   частинні  
похідні другого порядку вводимо за формулою                                  
          ∂ 2 u           ∂   ∂u                                                                
                                                                                     
                                де i = 1,n;   j = 1,n .              
            =                          
                          ,                
      ∂xi ∂x j ∂x j   ∂xi                                                                

Якщо частинні похідні другого порядку неперервні по су-купності змінних, то мішані похідні рівні між собою,тобто

∂ 2 u   ∂ 2 u        
= , ( i , j = 1,n ).  
∂xi ∂x j ∂x j∂xi  
         

 

Читайте також:

  1. Визначники малих порядків
  2. Вищих навчальних закладів
  3. Вищих навчальних закладів
  4. Диференціали вищих порядків.
  5. З «Записки про Берлінську нараду від 6 лютого 1918 р.» вищих урядовців Німеччини і Австро-Угорщини щодо переговорів у Бресті-Литовському
  6. Загальна характеристика вищих рослин.
  7. Загальна характеристика професійної діяльності психолога у спорті вищих досягнень.
  8. Історія розвитку методу культури клітин вищих рослин
  9. Консерватизм - ідеологія, орієнтована на збереження (консервацію) традиційних громадських порядків або їх реставрацію, якщо вони виявилися такими, що руйнують.
  10. Нескінченні похідні
  11. Односторонні похідні
  12. Означення 5.5. Якщо існують похідні , то матриця



Переглядів: 1214

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Стом функції. | Екстремум функції двох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.016 сек.