• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Предмет і задачі математичного програмування

деякі задачі управління і планування

Математичне програмування (МП) – це прикладна галузь математики, яка є теоретичною основою розв’язування задач оптимального планування.

Більшість планово-виробничих і економічних задач пов’язані з розподілом певних, як правило, обмежених ресурсів (сировини, робочої сили, різних видів палива і т.д.). Досить часто такий розподіл можна провести не єдиним чином. Наприклад, певну продукцію можна отримати різними способами, по-різному вибираючи технологію, сировину, обладнання. При цьому кожний спосіб розподілу ресурсів оцінюється з позицій деякого критерію (прибуток, об’єм випущеної продукції і т.д.) і характеризується певним значенням цього критерію. Очевидно, нашим завданням буде знаходження такого варіанту розподілу (програми, плану), який би гарантував найбільший економічний ефект.

Щоб використовувати методи МП для знаходження оптимального плану, економічну проблему треба записати за допомогою математичних виразів (рівнянь, нерівностей і т.д.), тобто скласти її математичну модель.

Математична модель – це система математичних виразів, яка описує характеристики об’єкта моделювання і взаємозв’язок між ними.Природно, що не завжди будь-яка математична модель адекватна модельованому об’єкту (процесу, явищу). Вона лише дає деяке наближене уявлення про нього. Для її побудови необхідно мати чітке розуміння мети функціонування досліджуваної системи.

Під метою будемо розуміти результат, який необхідно одержати шляхом вибору та реалізації певної програми дій (методів впливу) на досліджувану систему. В економічних задачах мета, як правило, полягає в тому, щоб максимізувати прибуток або мінімізувати витрати.

Коли мета визначена, виникає потреба у виборі способу дій, який би в найбільшій мірі сприяв її досягненню. Сам вибір способу дій визначається інформацією про обмеження, яким повинна задовольняти програма (план) дій.

Як мета, так і обмеження повинні бути представлені у вигляді функцій від змінних величин.

Реальні економічні процеси досить складні. При їх математичному описі потрібно враховувати множину різних факторів. Тому математична модель містить велику кількість умов з багатьма невідомими. Якщо невідомі входять в модель тільки в першому степені, то задача відноситься до розділу лінійного програмування, інакше – до нелінійного програмування. Оптимізаційні задачі, в яких потрібно враховувати послідовність дій або фактор часу, розглядаються в розділі динамічного програмування. Якщо в задачі параметри є випадковими величинами, то вона відноситься до задач стохастичної оптимізації.

До основних планово-виробничих і економічних задач відносяться:

· Задача про оптимальне використання ресурсів. Нехай для функціонування виробництва використовуються m різних видів сировини , обсяги яких відповідно становлять одиниць. Ці ресурси використовуються при виготовленні продукції виду . Потреби ресурсу -го виду на виготовлення одиниці -го виробу позначимо через , а його ціну – . Ефективність виробництва буде характеризуватися величиною отриманого прибутку від реалізованої продукції.

Потрібно визначити такий план випуску продукції, який максимізує прибуток підприємства при заданих ресурсах.

Запишемо дані у вигляді таблиці 1 і складемо математичну модель задачі.

Таблиця 1

Припустимо, що підприємство буде випускати х₁ одиниць виробів виду А₁, х₂ – виду А₂, …, х_n – виду А_n. Очевидно, що повинні виконуватися обмеження:

(1)

причому

Потрібно скласти оптимальний план роботи підприємства, тобто знайти такі невід’ємні значення , які б задовольняли систему обмежень (1) і прибуток від реалізації продукції був би максимальним.

· Задача на складання дієти. Нехай маємо продуктів харчування (м’ясні вироби, овочі, фрукти і т.д.), в кожному з яких міститься видів поживних речовин (білки, жири, вуглеводи і т.д.). Відомо, що в одиниці го продукту міститься одиниць -ої поживної речовини . Мінімальна добова потреба організму в -ій поживній речовині становить одиниць, а вартість одиниці продукту харчування -го виду – .

Потрібно скласти такий мінімальний за вартістю добовий раціон (набір і кількість продуктів харчування), щоб повністю задовольнити потреби організму в поживних речовинах.

Позначимо через кількість одиниць продукту j-го виду, що використовується для добової потреби. Тоді загальна кількість i-ої поживної речовини, яка міститься в раціоні виразиться сумою

.

Ця сума має бути більша або рівна потрібного мінімуму по всіх видах поживних речовин і математично виразиться формулою

, . (2)

З іншого боку, добове споживання кожного виду продукту харчування обмежено наявними запасами .

. (3)

Сумарна вартість дієти

. (4)

Отже, оптимальною дієтою буде такий набір продуктів харчування, який перетворює в мінімум лінійну функцію (4) при умовах (2) і (3).

· Транспортна задача. В пунктах відправлення знаходиться відповідно одиниць однорідного вантажу, для постачання n споживачам в кількостях одиниць кожному. Транспортні затрати на перевезення одиниці вантажу з і-го пункту відправлення в j-ий пункт споживання – .

Потрібно скласти такий план перевезень, тобто знайти, скільки одиниць вантажу потрібно відправити з і-го пункту відправлення в j-ий пункт споживання, щоб задовольнити потреби, а сумарні витрати на перевезення були б мінімальними.

Позначимо через – кількість вантажу, який перевозиться з і-го пункту відправлення в j-ий пункт споживання. Тоді задача зводиться до визначення невідомих , які задовольняють умови:

(5)

Сформулюємо задачу МП в загальному вигляді: знайти значення n змінних , які задовольняютьm рівнянням і нерівностям

(6)

і максимізують чи мінімізують функцію

(7)

Умови (6) називаються обмеженнями, а (7) – цільовою функцією.

Зокрема, цільова функція в математичній формі виражає представлену мету з точки зору критерію оптимальності.

Керування економічним процесом полягає в тому, щоб вибрати такі значення змінних , які б надавали функції ефективності (цільовій функції, функції мети) екстремального значення, тобто знайти

F=

Набір керованих змінних які задовольняють систему обмежень , називають допустимим розв’язком (планом), а набір керованих змінних при яких цільова функція досягає екстремуму, – оптимальним.

Читайте також:

1. А є А, тобто усякий предмет є те, що він є.
2. Абетково-предметний покажчик
3. Алгебраїчне та інсерційне програмування
4. Алгоритм розв’язання задачі
5. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
6. Алгоритм розв’язування задачі
7. Алгоритм розв’язування задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі
10. Алгоритм розв’язування задачі
11. Алгоритм розв’язування задачі
12. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel

Переглядів: 704