• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Головні напруги. Інваріанти напруженого стану

За допомогою рівнянь (1.4) можна обчислити напруги на будь-якій похилій площадці в будь-якій точці всередині тіла, якщо відомі складові напруги по трьох взаємно перпендикулярних площадках, паралельним координатним площинам.

Рівнодіюча складових напруги на похилій площадці називається повною напругою на цій площадці й визначається як геометрична сума

(1.5)

Розкладемо повну напругу на дві складові - по нормалі до площадки і в її площині (відповідно нормальне й дотичне напруження). Нормальна напруга дорівнює сумі проекцій складових повної напруги, паралельних координатним осям, на напрямок нормалі:

(1.6)

Підставляючи значення з (1.4), одержимо

(1.7)

Вираз (1.7) дозволяє визначати нормальні напруги на будь-якій похилій площадці за допомогою шести складових напруг на трьох площадках, паралельних координатним площинам.

При цьому дотичні напруження на цій площадці будуть

(1.8)

Формула (1.8) дає величину дотичного напруження, але не дозволяє визначити його напрямок у площині площадки.

Визначимо складову дотичного напруження в площині площадки з нормаллю по напрямку з напрямними косинусами Напрямки й взаємно перпендикулярні, тому їхні напрямні косинуси зв'язані відомим з аналітичної геометрії співвідношенням

(1.9)

Шукане дотичне напруження дорівнює сумі проекцій складових напруг на напрямок :

Підставимо в цей вираз складові напруги з (1.4):

(1.10)

Вираз (1.10) дозволяє визначити дотичні напруження на будь-якій похилій площадці в заданому напрямку за допомогою шести складових напруг на трьох площадках, паралельних координатним площинам.

Площадка, на якій дотичні напруження дорівнюють нулю, називається головною.

Для такої площадки ( ) з (1.8) слідує тобто на головній площадці повна напруга збігається з нормальною як по величині, так і по напрямку.

З умови можна визначити величину головних напруг і положення головних площадок. Позначимо шукану головну напругу через , спроектуємо її на координатні осі й знайдемо складові головної напруги, паралельні координатним осям:

Порівнюючи ці співвідношення з (1.4), одержимо:

(1.11)

З аналітичної геометрії відоме співвідношення між напрямними косинусами:

(1.12)

Рівняння (1.11) і (1.12) містять чотири невідомих: головні напруги й три його напрямні косинуси.

Перетворимо (1.11) до виду

(1.13)

Ця система має ненульовий розв’язок (нульовий розв’язок неможливий в силу (1.11)) тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю:

Розкриваючи визначник і групуючи по ступенях , одержимо кубічне рівняння

або

(1.14)

де

(1.15)

Розв’язок рівняння (1.14) завжди дає три дійсних корені. Найбільший за алгебраїчним значенням корінь позначається через найменший — Таким чином

Підставляючи значення одного з головних напруг в (1.13), можна знайти напрямні косинуси відповідної головної площадки.

Позначимо дві головних напруги через , , а їхнім напрямним косинусам додамо значення з відповідними індексами й двічі запишемо рівняння (1.13):

(1.16)

Помножимо рівняння (1.16) на відповідно й складемо їх:

Так як то одержуємо умову ортогональності головних площадок, на яких діють і :

Аналогічно можна довести ортогональність головних площадок, на яких діють інші пари головних напруг. Таким чином, у кожній точці тіла можна виділити принаймні три головних площадки, які взаємно перпендикулярні одна одній.

Величини головних напруг не залежать від положення координатних осей отже, корінь кубічного рівняння (1.14) не залежать від вибору координатної системи й коефіцієнти цього рівняння повинні зберігати постійні значення при перетворенні осей, тобто вони є інваріантами, тому величини називаються відповідно першим, другим і третім інваріантами напруженого стану.

Якщо їх виразити через головні напруги (а для цього в (1.15) потрібно дотичні напруги прийняти рівними нулю), то одержимо

(1.17)

У теорії напруг інваріанти розглядаються як основні характеристики напруженого стану тіла в даній точці.

Читайте також:

1. IІI розділ. Аналіз стану маркетингового середовища підприємства
2. Адміністративно-правове регулювання державної реєстрації актів цивільного стану, державної виконавчої служби, нотаріату та адвокатури.
3. Аналіз і діагноз стану системи адміністративного управління організації
4. Аналіз і оцінка стану охорони праці
5. Аналіз показників складу, структури й технічного стану основних фондів.
6. Аналіз ризикованості підприємства на основі показників фінансового стану.
7. Аналіз руху грошових коштів у контексті нової фінансової звітності Важливим завданням аналізу фінансового стану підприємства є оцінка руху грошових коштів підприємства.
8. Аналіз стану військової дисципліни
9. Аналіз стану дебіторської заборгованості за термінами її виникнення
10. АНаліЗ СТанУ ЗДОРОВ'Я ДІТеЙ І ДОРОСЛИХ В УКРАЇНІ
11. Аналіз стану й оцінка рівня нормування праці
12. Аналіз стану основних засобів

Переглядів: 1086