• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Рівняння електричних коливань

Розглянемо коло, до якого входить джерело струму з електрорушійною силою ε (в загальному випадку - змін­ною), індуктивність ємність С та активний опір R, що з'єднані послідовно (мал. 2.25). Запишемо вираз, який пов'язує спад напруги на опорі напругу на конденсаторі напругу на індуктивності та е.р.с. джерела

Мал. 2.25.

Оскільки за означенням після диференціювання за часом, одержимо диференційне рівняння електричних ко­ливань:

(2.66)

Це рівняння виражає залежність сили струму від часу і є лінійним неоднорідним диференційним рівнянням друго­го порядку з постійними коефіцієнтами. Аналогічне рівняння можна отримати і для інших електричних величин (наприклад, заряду на конденсаторі q).

Вільні гармонічні коливання. Якщо джерело має постійну в часі ЕРС, тобто то рівняння (2.66) стає однорідним. За аналогією з механічними коливаннями це є рівняння згасаючих коливань

(2.67)

За відсутності опору рівняння (2.67) перетворюється в рівняння вільних гармонічних коливань

Розділивши ліву частину цього рівняння на матимемо:

(2.68)

де - власна частота вільних електричних коливань

(2.69)

Рівняння (2.68) має своїм розв'язком гармонічну функ­цію

(2.70)

Вираз, котрий стоїть під знаком синуса (або косинуса), на­зивають фазою коливань У даному випадку де - початкова фаза. Мінімальний проміжок часу, через який фаза повторює своє значення, називається періодом коливань. Період власних коливань

(2.71)

Ця формула носить назву формули Томсона. Із змен­шенням індуктивності котушки та ємності конденсатора С зменшується період коливань, а значить зростає їхня частота.

2.4.2. Вимушені електричні коливання, змінний струм

Розглянемо тепер електричні коливання, які виникають при наявності в колі генератора ЕРС, яка періодично змінюється.

Коло з активним (омічним) опором. Спочатку розгля­немо частинний випадок, коли генератор змінного струму замк­нений на зовнішнє коло, яке ,'містить лише активний опір (мал. 2.26). Припустимо, що в колі існує змінний струм:

Мал. 2.26.

Застосовуючи закон Ома, визначимо, за яким законом зміню­ється напруга на активному опорі

(2.72)

Мал. 2.27. Мал. 2.28.

Ця рівність показує, що між коливаннями та немає зсуву фаз: напруга і струм одночасно досягають макси­мальних значень і одночасно перетворюються в нуль (мал. 2.27). Наочно це можна зобразити за допомогою векторної діаграми. Величини, які змінюються за гармонічним зако­ном будемо розглядати як вектори, модуль яких дорівнює їхньому амплітудному значенню, а кут між ними - різниці фаз. Вісь діаграми виберемо так, щоб вектор I збігівся з нею за напрямком. Цю вісь називають віссю струмів. Тоді вектор, що зображає коливання напруги, бу­де направлений вздовж осі струмів (мал. 2.28). Довжина цього вектора

Коло з індуктивністю.Розглянемо випадок, коли ді­лянка кола містить лише індук­тивність (мал. 2.29). Тоді за зако­ном електромагнітної індукції Фарадея електрорушійна сила

(ЕРС) індукції визначається швидкістю зміни магнітного потоку тобто У випадку самоіндукції магнітний потік Ф прямо пропорційний силі струму що тече по контуру, тобто де - індуктивність контура.

Мал. 2.29.

Таким чином, при наявності змінного струму в котушці індукуєть­ся ЕРС самоіндукції, величина якої дорівнює Відповідно до закону Ома для повного кола сума всіх ЕРС за відсутності активного опору повинна дорівнювати нулю, тобто

Якщо сила струму в колі змінюється за законом , то для отримуємо:

(2.73)

Порівнюючи відношення для амплітудних значень І_т та U_m із законом Ома, бачимо, що роль опору відіграє величина яку називають індуктивним опором. Також видно, що сила струму та напруга зсунуті за фазою одна відносно іншої (мал. 2.30) на величину причому напруга в будь-який момент часу випереджає силу струму. На векторній діаграмі це зобразиться так, як пока­зано на мал. 2.31.

Мал. 2.30. Мал. 2.31.

Коло з ємністю. Розглянемо третій частинний випадок, коли ділянка кола містить лише конденсатор ємності С (мал. 2.32). Як і раніше, будемо вважати, що сила струму змінюється за законом Різниця потенціалів між пластинами конденсатора Але ж сила струму Тоді

(2.74)

Постійна інтегрування визначає заряд, який не пов'яза­ний з коливаннями струму, і тому можна покласти Отже,

(2.75)

де

Порівнюючи (2.75) із законом Ома, бачимо, що роль опору відіграє величина яка називається ємнісним опором. Ємнісний опір змен­шується із зростанням частоти. Бачимо також, що сила струму та напруга зсунуті по фазі на величи­ ну причому сила струму в будь-який момент часу виперед­жає напругу (мал. 2.33).

Мал. 2.32.

Отриманий результат зобразимо за допомогою вектор­ної діаграми (мал. 2.34). Вектор, що відповідає коливанням напруги, повернений у від'ємному напрямі (за годиннико­вою стрілкою) на кут Довжина вектора дорівнює амплі­туді напруги .

Мал. 2.33. Мал. 2.34.

2.4.3. Повний опір кола змінного струму (імпеданс). Закон Ома для кола змінного струму

Отримані результати дозволяють знайти співвідношен­ня між коливаннями сили струму та напруги в будь-якому колі. Розглянемо спочатку коло, в яке послідовно ввімкнені активний опір R, ємність С та індуктивність L (мал. 2.35). Сила струму в загальному випадку відрізняється за фазою від напруги U і є однаковою для кожного елемента кола:

Оскільки при послідовному з'єднанні додаються напру­ги, то шукану напругу можна подати як суму спадів напруг на окремих ділянках: Для додавання цих трьох гармонічних коливань скористаємося векторною ді­аграмою. Врахуємо, що напруга на омічному опорі синфаз-на з силою струму, напруга на індуктивності випереджає силу струму на а на ємності ж відстає на (мал. 2.36). Додаючи два останні коливання ми отримаємо одне гармонічне коливання, яке зображується вектором пер­пендикулярним до осі струмів; довжина цього вектора Цей спад напруги називається реактив­ною складовою спаду напруги, а відповідний опір ( ) - реактивним опором. Таким чином, повний спад напруги можна розглядати як суму двох гармонічних коливань: активної складової та реактивної які

відрізняються за фазою на Величину можна знайти за теоремою Піфагора (мал. 2.36):

(2.76)

і \

Мал. 2.35. Мал. 2.36.

Для макимального значення повного спаду напруги в контурі закон Ома має вигляд де Z - повний опір кола змінного струму, або імпеданс. Порівнюючи два останніх рівняння, отримуємо вираз для імпедансу Z. При послідовному увімкненні в коло змінного струму активного опору, індуктивності і ємності повний опір кола (імпеданс) дорівнює:

(2.77)

Зсув фаз φ між силою струму і напругою визначається із трикутника напруг (мал. 2.36):

(2.78)

Із (2.77) бачимо, що при реактивний опір дорівнює нулю, а імпенданс Z дорівнює активному опору У цьому випадку Це означає, що сила струму і напруга змінюються в однакових фазах. Цей випадок має назву резонансу напруг. При резонансі напруг частота генератора збігається з власною частотою, тобто задовольняє формулу Томсона.

При паралельному з'єднанні ємності С, індуктивності L та активного опору R імпеданс Z можна знайти із співвідношення

(2.79)

У випадку рівності ємнісного та індуктивного опорів при паралельному сполученні спостерігається резонанс струмів. Опір кола при цьому буде максимальним, а сила струму мінімальною, хоча струми через конденсатор та котушку можуть бути достатньо великими, однак вони вза-ємоврівноважуються.

2.4.4. Імпеданс біологічних тканин

Як показує експеримент, для біологічних тканин харак­терні великі значення кута зсуву фаз між силою струму і напругою, причому сила струму випереджає за фазою на­пругу. Це свідчить, що частка ємнісного опору в біологічних об'єктах значна. Наведемо деякі значення кута зсуву фаз при частоті для різних біооб'єктів:

Як правило, індуктивністю біологічних об'єктів нехту­ють (при частотах і вважають, що їхній імпе­данс дорівнює геометричній сумі активного R і ємнісного опорів. Для характеристики пропускання струму живими клітинами використовують еквівалентні схеми, тобто такі комбінації С і R, які можуть моделювати електричні пара­метри біологічних тканин. Розглянемо найпростіші з них.

Мал. 2.37.

При послідовному сполученні R і С (мал. 2.37а) схема має суттєві розбіжності з дослідом при пропусканні постій­ного струму. Якщо то вона чинить нескінченно ве­ликий опір постійному струмові що не відповідає дійсності. Якщо ж С і R з'єднати паралельно (мал. 2.37б), то при високих частотах що теж не відпо­відає дійсності. Для біологічних тканин характерне більш складне поєднання ємності й активного опору. Найбільш вдалими є схеми, що приведені на мал. 2.37в,г. При про­пусканні через такі схеми високочастотного струму при _→ , їх імпеданс асимптотичне наближається до деякої константи (у випадку ), а у випадку Ці схеми з певним наближенням можуть бути еквівалентними електричними схемами біологічних тканин, але ні одна з них не може повністю відтворювати закономірності пропускання електричного струму через біологічні системи.

На мал. 2.38 приведені графіки дисперсії (частотної за­лежності) імпедансу рос­линної тканини: 1 - кри­ва для нормальної здоро­вої тканини; 2 - для на­грітої до протя­гом 2 хв; 3 - те ж саме протягом 4 хв; 4 - після кип'ятіння в воді протя­гом 20 хв.

З малюнка видно, що крутизна кривої в міру відмирання тканини зменшується, тобто спостерігається зменшення низькочастотного опору, тоді як при високих частотах імпеданс практично залишається постійним. При­чиною є те, що при відмиранні руйнуються мембрани -"живі конденсатори", і нежива біологічна тканина володіє суто омічним опором. Вказані особливості використову­ються для оцінки фізіологічного стану об'єктів. Як правило, розраховується коефіцієнт дисперсії К, який дорівнює відношенню імпедансу при низьких частотах до імпедансу при високих частотах:

(2.80)

У нормальних тканинах залежить від положення ор­ганізму в еволюційному ряді. Наприклад, коефіцієнт дис­персії печінки ссавців дорівнює приблизно 9-10, печінки жаби - 3-4. При відмиранні тканин вказаний коефіцієнт на­ближається до одиниці. Критерієм життєздатності є також частотна залежність тангенса кута зсуву фаз між силою струму і напругою. Вона дає уявлення про співвідношення між величинами активного і реактивного опорів:

Імпеданс тканин залежить також від їх функціонального стану, і це використовується в діагностиці. Імпеданс кровоносних судин залежить від їх кровонаповнення, а значить і від серцево-судинної діяльності. На цьому базується діагностичний метод, який називають реографією. Реографія вивчає залежність актив­ної складової імпедансу біологічної тканини від її дефор­мації в процесі серцевої діяльності. Отримують реограми серця, головного мозку, магістральних судин, легень тощо. Відповідно до методики Кедрова вважається, що відносна зміна об'єму ділянки кровоносної судини (чи іншої біологічної тканини) прямо пропорційна зміні опору ΔR/R:

Співвідношення між активною та реактивною складо­вими опору може змінюватись при зміні фізіологічного стану та деяких патологіях. Наприклад, при запаленні на перших стадіях спостерігається збільшення активного опо­ру тканин. Цей ефект обумовлений тим, що струм низької частоти йде переважно через міжклітинну рідину, яка во­лодіє суто омічним опором. При запаленні клітини набуха­ють і переріз міжклітинних ділянок зменшується, що й при­зводить до підвищення омічного опору. Ємнісний опір при цьому практично не змінюється, оскільки не змінюється структура клітин. Очевидним є той факт, що за незмінного ємнісного опору збільшення омічного опору свідчить про набухання клітин, а зменшення омічного опору, навпаки, свідчить про зменшення об'єму клітин. Зворотний ефект спостерігається на ранніх стадіях онкологічних захворю­вань. Перетворення нормальних клітин у ракові супровод­жується появою молодих клітин і підвищенням ємнісного опору.

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. VІI. Утворіть вищий та найвищий ступені порівняння від прислівників із вправи VI.
3. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
4. Баланс потужностей в електричних колах постійного струму
5. Биття та модуляція коливань
6. Біржове страхування (хеджування) учасників біржової торгівлі від несприятливих для них коливань цін
7. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
8. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
9. Векторне канонічне параметричне рівняння прямої в просторі.
10. Вивід основного рівняння фільтрації
11. Види діелектричних втрат
12. ВИДИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ТРАВМ

Переглядів: 2116