Новини освіти і науки: МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти Гідрологія і Гідрометрія Господарське право Економіка будівництва Економіка природокористування Економічна теорія Земельне право Історія України Кримінально виконавче право Медична радіологія Методи аналізу Міжнародне приватне право Міжнародний маркетинг Основи екології Предмет Політологія Соціальне страхування Технічні засоби організації дорожнього руху Товарознавство продовольчих товарів Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция

Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел. Таблиця № 3.1. Х Визначення частки цілого невід’ємного числа на натуральне число через розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються. Ділення на множині цілих невід’ємних чисел, зв'язок ділення з множенням. Теореми про існування та єдиність частки. B Теорема 7 (переставний або комутативний закон множення): для будь-яких цілих невід’ємних чисел а і b справджується рівність а×b=b×а. Теорема 8 (сполучний або асоціативний закон множення): для будь-яких цілих невід’ємних чисел а, b і с справджується рівність (а×b)×с=а×(b×с). Доведення теорем 7 і 8 проводиться аналогічно до доведення теореми 9, а тому пропонуємо провести їх самостійно. Для доведення теорем 7 і 8 виконайте завдання № 3 для самостійної роботи.Наступна теорема 9 пов’язує операції додавання і множення. Теорема 9 (лівий та правий дистрибутивні або розподільні закони множення відносно додавання): для будь-яких цілих невід’ємних чисел а, b і с справджуються рівності: 1) с×(а+b)=с×а+с×b; 2) (а+b)×с=а×с+b×с. Доведення: Для доведення рівності 2 використаємо означення добутку через суму однакових доданків: (а+b)×с=(а+b)+(а+b)+(а+b)+...(а+b)=(а+а+а+...+а)+(b+b+b+...+b)=ас+bс с с с Отже, (а+b)×с=а×с+b×с. Рівність (1) пропонуємо довести самостійно. Теорему доведено. Прийняті нами означення суми і різниці можна поширити на множину цілих невід’ємних чисел, де Z0=N0=NÈ{0}. Оскільки 1) АÈÆ=ÆÈА=А, то а+0=0+а=а; 2) А\Æ=А, а тому а-0=а.   9. На практиці досить часто доводиться розв'язувати задачі таких двох видів: 1) дано скінченну множину А і її слід розбити на певне число еквівалентних між собою підмножин без спільних елементів, а потім визначити потужність кожної із цих підмножин. Такі задачі називають задачами на ділення на рівні частини; 2) дано власну підмножину В скінченної множини А і необхідно визначити скільки всіх підмножин без спільних елементів, еквівалентних множині В, має множина А. Такі задачі називають задачами на ділення на вміщення. Таким чином, в обох випадках множина А повинна бути представлена у вигляді об'єднання скінченної кількості еквівалентних між собою множин:А=В1ÈВ2ÈВ3È...ÈВk, причому В1~В2~В3~...~Вk. При розв'язування першої задачі (задачі на ділення на рівні частини) завдання полягає в тому, щоб визначити потужність кожної із еквівалентних підмножин. Розв'язування другої задачі (задачі на ділення на вміщення) зводиться до відшукання кількості таких еквівалентних між собою підмножин. Якщо перейти до характеристики потужності множини А і вказаних підмножин, тобто позначити n(А)=а, n(В1)=n(В2)=n(В3)=...=n(Вk)=x, то ми приходимо до поняття нової арифметичної операції на множині цілих невід’ємних чисел, а саме до операції ділення на натуральне число. У першому випадку число а=n(А) слід представити у вигляді суми відомого числа b однакових доданків, кількість яких (х) необхідно знайти. При розв'язуванні другої задачі число а слід представити у вигляді суми невідомого числа (х) однакових доданків, кожен з яких дорівнює b. Символічно це можна записати в таблиці (див. таблицю № 3.1.).   а=х+х+х+...+х=х×b   b а=b+b+b+...+b=b×х

Отже, розв'язування задачі на ділення на рівні частини зводиться до відшукання за відомим добутком і відомим другим множником невідомого першого множника, а задачі на ділення на вміщення – до відшукання за відомим добутком і відомим першим множником невідомого другого множника (див. таблицю № 3.1.). Обидві задачі розв'язуються дією, оберненою до дії множення, а саме: х=а:b.

Тепер можна ввести такі означення.

Означення 1: часткою натуральних чисел а і b називається число елементів кожної із еквівалентних підмножин, на які розбито множину А, де а=n(А) і b – число підмножин, на які розбито множину А.

Означення 2: часткою натуральних чисел а і b називається число еквівалентних підмножин, на які розбито множину А, де а=n(А) і b=n(В₁)=n(В₂)=n(В₃)=...=n(В_х).

Визначаючи частку натуральних чисел, ми використовували операцію розбиття множини на підмножини, які попарно не перетинаються. Разом з тим, ми показали, що в обох випадках приходимо до дії, оберненої до дії множення. Отже, можна ввести таке означення.

Означення 3: часткою від ділення натуральних чисел а і b називається таке третє натуральне число а:b, яке в добутку з числом b дає нам число а, тобто b×(а:b)=а.

Число а називають діленим, число b – дільником, а число а:b – часткою. Операція, за допомогою якої знаходиться частка, називається операцією ділення на множині натуральних чисел. Зазначимо, що всі прийняті нами означення рівносильні між собою, але в жодному із них не говориться про існування та єдиність операції ділення. Саме тому, розглянемо це питання. Дія ділення зводиться до розв'язування лінійного рівняння bх=а. Із курсу математики середньої школи відомо, що це рівняння: 1) при а=b=0 набуває вигляду 0×х=0 і має нескінченну множину розв’язків. Отже, вираз 0:0 не має жодного конкретного значення, тобто не має смислу. Саме тому, ділити на нуль не можна!; 2) при а=0 і b¹0 рівняння набуває вигляду b×х=0 і має єдиний розв’язок х=0; 3) при а¹0 і b¹0 рівняння bх=а матиме розв’язок на множині натуральних чисел тоді, коли а ділиться націло на b. Для відповіді на запитання про існування частки слід довести наступну теорему.

Теорема 10 (про існування частки): частка цілого невід’ємного числа а на натуральне число b існує тоді і тільки тоді, коли а ділиться націло на b.

Доведення:

Доведення теореми буде складатися із двох частин: у першій слід довести достатню умову, а у другій – необхідну умову існування частки. Доведемо достатню умову, яка формулюється так: “якщо ціле невід’ємне число а ділиться націло на натуральне число b, то частка а:b існує”.

За умовою а ділиться націло на b. Це означає: існує таке число с, що b×с=а. Отже, с=а:b. Достатню умову доведено.

Доведемо необхідну умову, яка формулюється так: “якщо частка а:b існує, то число а ділиться націло на b”. За умовою частка а:b існує. Це означає, що b×(а:b)=а, тобто число а ділиться націло на число b. Необхідну умову доведено. Таким чином, теорему доведено повністю.

Теорема 11 (про єдиність частки): якщо частка від ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b існує, то вона єдина.

Доведення:

Доведення цієї теореми проведемо методом від супротивного так, як ми це робили при доведенні єдиності різниці. Припустимо, що частка не єдина, тобто існує принаймні дві частки. Нехай а:b=с₁ і а:b=с₂, причому с₁¹с₂. Згідно означення частки маємо а=bс₁ і а=bс₂. Звідси bс₁=bс₂. Отже, с₁=с₂, а це суперечить вибору чисел с₁ і с₂. Ця суперечність дозволяє стверджувати, що наше припущення про не єдиність частки було хибним. Таким чином, якщо частка існує, то вона єдина. Теорему доведено.

10. У процесі практичної діяльності людині чи не частіше доводиться зустрічатися з операцією ділення з остачею, ніж з операцією ділення націло. Саме тому, введемо означення такої операції та покажемо, що вона існує і єдина.

Означення: ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b з остачею, якщо існують такі цілі невід’ємні числа q і r, що виконуються умови: 1) а=bq+r; 2) 0£r£b.

У наведеному означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а тому слід довести наступну теорему.

Теорема 12: для будь-якого цілого невід’ємного числа а і натурального числа b існує і причому єдина пара цілих невід’ємних чисел q і r таких, що а=bq+r, де 0£r£b.

Доведення:

Доведення цієї теореми буде складатися із двох частин. У першій частині доведемо існування таких чисел, тобто існування операції ділення з остачею, а у другій – її єдиність. Між числами а і b може існувати лише одне із співвідношень: 1) а<b; 2) а=b; 3) а>b. Якщо а<b, то а=b×0+а, де q=0 і r=а. Отже, умови виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а=b, то а=b×1+0, де q=1 і r=0. Таким чином, умови також виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а>b, то можливі два випадки: а) а ділиться націло на b; б) а не ділиться націло на b. У першому випадку згідно означення частки існує деяке число q таке, що а=b×q, тобто а=b×q+0. Таким чином, в усіх розглянутих випадках числа q і r існують.

Розглянемо випадок, коли а не ділиться націло на b. Утворимо послідовність чисел b×1, b×2, b×3,..., b×q, b×(q+1), ..., b×а, ... Серед цих чисел , які діляться націло на b, знайдуться два послідовних числа такі, що b×q<а<b×(q+1), або b×q<а<b×q+b. Якщо від усіх частин останньої нерівності відняти b×q, то одержимо нерівність 0<а-b×q<b. Позначивши а-b×q=r, дістанемо: а=b×q+r, де 0<r<b. Таким чином, і в цьому випадку числа q і r існують. Отже, існування частки і остачі доведено.

Доведемо, що частка і остача єдині. Припустимо, що існує дві пари чисел q₁, r₁, q₂, r₂ таких, що а=b×q₁+r₁, де 0<r₁<b, і а=b×q₂+r₂, де 0<r₂<b, q₁¹q₂ і r₁¹r₂. Звідси b×q₁+r₁=b×q₂+r₂. Оскільки r₁¹r₂., то виберемо для визначеності, що r₁£r₂. Тоді b×(q₁-q₂)=r₂-r₁. Із того, що вираз b×(q₁-q₂) ділиться націло на b, випливає, що і вираз r₂-r₁ ділиться націло на b. Оскільки 0£r₂-r₁<b, то вираз r₂-r₁ може ділитися націло на b лише в тому випадку, коли r₂-r₁=0, тобто r₂=r₁. Звідси випливає, що b×(q₁-q₂)=0. Оскількиb¹0, то q₁-q₂=0, тобто q₁=q₂. Таким чином, ми прийшли до суперечностей із вибором чисел q₁, r₁, q₂, r₂. Ця суперечність дозволяє твердити, що припущення про не єдиність частки і остачі було хибним. Отже, теорему доведено повністю.

Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 3.1.

1. Сформулюйте означення відношення “більше” на множині цілих невід’ємних чисел у кількісній теорії цих чисел.

2. Довести комутативний закон операції додавання у теоретико-множинній теорії.

3. Довести переставний і сполучний закони операції множення у теоретико-множинній теорії.

Читайте також:

1. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
2. III. За виділенням або поглинанням енергії
3. VII. Професійна кооперація
4. VII. Філо- та онтогенез органів виділення
5. АЛЬТЕРНАТИВНІ ПІДХОДИ ДО ВИДІЛЕННЯ МЕТОДІВ УПРАВЛІННЯ
6. Антропогенез – процес виділення людини з тваринного святу, олюднення мавпи під впливом суспільної практики.
7. Антропогенез – процес виділення людини з тваринного святу, олюднення мавпи під впливом суспільної практики.
8. Б – розділення гелю на дві фази
9. Валютна позиція банку та її врахування в бухгалтерських записах за операціями в іноземній валюті
10. Введення чисел.
11. Вивчення оборотності оборотних коштів у зовнішньоторгових операціях.
12. ВИВЧЕННЯ ПОГЛИНАННЯ ЛИСТКАМИ СО2 І ВИДІЛЕННЯ О2 ПІД ДІЄЮ СВІТЛА

Переглядів: 2413