а) Центр ваги площі трикутника. Розіб’ємо площу трикутника АВD (рис. 8.8) прямим, паралельними стороні АD , на велику кількість вузьких смужок, які можна розглядати як відрізки прямої лінії. Центр ваги кожної такої лінії лежить на її середині, тобто на медіані КВ трикутника АВD . Значить, і центр ваги площі трикутника лежить на цій медіані. Розмірковуючи аналогічно, приходимо до висновку, що цей центр лежить і на інших медіанах трикутника: DМ і АN . А це значить, що центр ваги площі трикутника збігається з точкою перетину його медіан. При цьому слід пригадати, що
(8.18)
б) Центр ваги дуги кола. Нехай маємо дугу АВ кола радіус R з центральним кутом 2α (рис. 8.9). Виберемо систему координат так, щоб вісь Oх була віссю симетрії дуги АВ . Згідно з § 8.5, центр ваги дуги лежатиме на осі Oх , тобто . Знайдемо координату методом інтегрування. Для цього виділимо на дузі АВ елемент положення якого визначається кутом j . Тоді координата х виділеного елемента буде
Підставимо ці значення в першу формулу залежності (8.17), отримаємо
(8.19)
де кут α вимірюється в радіанах.
Для дуги півкола ( ) дістанемо
в) Центр ваги площі кругового сектора.Виділимо в круговому секторі ОАВ (рис.8.10) з центральним кутом 2α елемент dS , положення якого визначається величинами r i . Для визначення координати скористаємося залежністю