У математиці існує ряд загальних методів доведення теорем. Розглянемо деякі з них.
Дедуктивне доведення.Це основний метод математичних доведень. Кожен його крок ґрунтується на певному логічному законі, аксіомі або даних теорем, і все доведення є ланцюжок логічних умовиводів. При такому доведенні з правильних умов теореми ми з необхідністю дістаємо правильний висновок.
Наприклад, теорема: «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то, оскільки воно ділиться на 2 і не ділиться на 6, воно не ділиться на 3».
Введемо позначення: А- «число ділиться на 2», В – «число ділиться на 3», С – «число ділиться на 6».
Доведення цієї теореми запишемо за допомогою послідовних дедуктивних умовиводів.
1) А, В – умова теореми;
2) А В;
3) А В С;
4) (А В С) (А );
5) (А ).
На третьому кроці використано теорему: якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток.
Повна індукція.Термін «індукція» походить від латинського induktio – наведення. У математиці використовуються повна й неповна індукції.
Доведення методом повної індукції полягає в розгляді всіх окремих випадків (чисел, фігур тощо), при яких теорема правильна. Кількість таких випадків повинна бути скінченною і невеликою за кількістю.
Теорема: Значення виразу с = а2 + b2, (а, b Z) є число, що при діленні на 4 не має остачі 3.
Доведення теореми проведемо, розглядаючи три випадки: 1) обидва числа парні; 2) обидва числа непарні; 3) одне число парне, друге – непарне.
Нехай а, b – парні, тобто а = 2m, b = 2n, m, n Z. Дістанемо
с = (2m)2 + (2n)2 = 4m2 + 4n2 = 4∙ (m2 + n2), тобто с 4, остача 0.
Нехай а, b – непарні числа, тобто а = 2m + 1, b = 2n + 1, m, n Z. Маємо