Теорема про існування різниці цілих невід’ємних чисел: «Різниця цілих невід’ємних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли b ≤ а».
Доведення.
1) Якщо а = b, то а – b = 0, тобто різниця а – b існує.
2) Якщо b < а, то за означенням відношення «менше» існує таке натуральне число с, що а = b + с. Тоді за означенням різниці с = а – b, тобто різниця а–b існує.
3) Якщо різниця а – b існує, то за означенням різниці існує таке ціле невід’ємне число с, що а = b + с. Якщо с = 0, то а = b; якщо с > 0, то b < а за означенням відношення «менше». Отже, b ≤ а.
Теорема про єдиність різниці цілих невід’ємних чисел: «Якщо різниця цілих невід’ємних чисел існує, то вона єдина».
Доведення. Нехай існують два значення різниці а – b: а – b = с1 та а – b = с2. Тоді за означенням різниці маємо а = b + с1 та а = b + с2. Звідси маємо в + с1 = b + с2, тому с1 = с2.