Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.

Зауваження. Треба мати на увазі,що другим правилом не мо-жна користуватися у випадку,коли критична точка x₀ одержана від

того, що в ній похідна не існує, а також, якщо	f '' ( x₀ ) = 0.Тоді ко-
ристуються першим правилом.
		Приклад.Знайти	максимум і	мінімум	функції
y =		x³ − 2 x² + 3 x + 1.

	Розв’язування.Дана	функція визначена на	проміжку

( −∞ ,∞ ).Знаходимо похідну і прирівнюємо її до нуля. y' = x² − 4 x + 3,

x² − 4 x + 3 = 0.

Корені даного рівняння x₁ = 1, x₂ = 3.

Спочатку використаємо перше правило y' = ( x − 1 )( x − 3 ).

Область визначення функції критичними точками ділиться на проміжки: ( −∞ ,1 ) ∪ ( 1,3 ) ∪ ( 3,∞ ) (мал.10). Знайдемо знаки

похідної в кожному з цих проміжків, підставивши конкретні числа з них в похідну.

Наприклад ,

y' ( 0 ) = ( 0 − 1 )( 0 − 3 ) = 3 > 0 ,

y' ( 2 ) = ( 2 − 1 )( 2 − 3 ) =−1 < 0 , Отже,в точці x = 1 −макси-

y' ( 4 ) = ( 4 − 1 )( 4 − 3 ) = 3 > 0.

мум.

^ymax ⁼		⋅ 1³ − 2 ⋅ 1² + 3 ⋅ 1 + 1 = 2		.


В точці x = 3 − мінімум.	^ymin ⁼		⋅ 3² − 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3 + 1 = 1.


При застосуванні другого правила знаходимо другу похідну
y'' = 2 x − 4.
Підставляємо значення x₁ = 1 і x₂ = 3 в другу похідну:
y'' ( 1 ) = 2 ⋅ 1 − 4 =−2 < 0 ,	y'' ( 3 ) = 2 ⋅ 3 − 4 = 2 > 0.

В точці x₁ = 1 − максимум , в точці x₂ = 3 − мінімум.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Достатні умови екстремуму	\|	Найменше та найбільше значення функції на відрізку

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.012 сек.